证明题(2005年北京大学

用数学归纳法证明:对于复n维空间Vn上任意多个两两可交换的线性变换所组成的集合S具有公共的特征向量.

答案解析

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讨论

令n为正整数。对任一正整数k,记0k=为k×k的零矩阵。令Y=为一个(2n+1)×(2n+1)矩阵,其中A=(xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n+1是一个n×(n+1)实矩阵且At记A的转置矩阵,即(n+1)×n的矩阵,(j,i)处元素为xi,j.(i)证明题(10分)称复数λ为k×k矩阵X的一个特征值,如果存在非零列向量v=(x1,…,xk)t使得Xv=λv.证明:0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±,其中非负实数λ是AAt的特征值。(ii)证明题(15分)令n=3且a1,a2,a3,a4是4个互不相等的正实数。记a=以及xi,j=ai δi,j+aj δ4,j-1/a2 (ai2+a42)aj(1≤i≤3,1≤j≤4),其中δi,j= .证明:Y有7个互不相等的特征值。

A=,则A的特征值为【 】

A为4阶方阵,其特征值为-1,1,2,3,A*为A的伴随矩阵,则|A*|=__________。

设A,B是n×n矩阵,φ(λ)为A的特征多项式,证明φ(B)是奇异矩阵的充要条件是A,B有公共的特征值。

设A为n×n复矩阵,证明:存在一个n维向量α,使α,Aα,…,An-1α线性无关的充要条件是A的每个特征向量值恰有一个线性无关的特征向量。

设A为数域P上的一个n级矩阵,如果f(A)=0,则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式,证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是__________.

设A为3阶矩阵,A=,则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是【 】

设矩阵A满足:对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A,使得P-1AP=Λ.

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1,对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T,求A.

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n,定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设:(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n),存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk;(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j), vi∙vj=0.证明:(i) A有一个行向量;对于A的另外任意一个行向量v_i,它有n/2个分量为1,n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m,则可以通过重新排列A的行与列,将A变为方阵这里,X⨂m==是方阵X的m次张量积:两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j',整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q,且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.

设α1=(1,0,0,3),α2=(1,1,-1,2),α3=(1,2,a-3,1),α4=(1,2,-2,a),β=(0,1,b,-1),问a,b为何值时(1) β能由α1,α2,α3,α4线性表示且表示唯一;(2) β不能由α1,α2,α3,α4线性表示;(3) β能由α1,α2,α3,α4线性表示但表示不唯一,并求一般表达式。

设R^3上的线性变换A(x)=x,则α=生成的A-循环不变空间的维数为________.

设A是n阶复方阵,V1是A的行向量生成的Cn的子空间,V2是A的列向量生成的Cn的子空间,则V1=V2.

设A是n维线性空间V的线性变换,则V=ImA⊕KerA.

设B是秩为2的5×4矩阵,α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.

在P[x]4定义内积:(f(x),g(x))=f(x)g(x) dx,f(x),g(x)∈P[x]4,并定义线性变换A:Aεi=ηi,i=1,2,3,4.ε1=1/2 (1+x+x2+x3 ),η1=2x+x2-x3 ε2=1/2 (-1-x+x2+x3 ),η2=-1-x2-2x3 ε3=1/2 (-1+x-x2+x3 ),η3=-2x-x2+x3 ε4=1/2 (-1+x+x2-x3 ),η4=1-4x-x2 求A的核空间的一个标准正交基.

已知A ̅和B ̅分别是三维空间中的矢量矩阵和单位方向矢量;A ̅=Ax+Ay+Az;( Ax=,Ay=,Az=B ̅=cosα+cosβ+cosγ;( cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1)计算矩阵求和c=k(A ̅∙B ̅)k +2k (A ̅∙B ̅)2k.提示:首先考察(A ̅∙B ̅)2=?

已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V:(a1,b1 )+(a2,b2 )=(a1+a2,b1+b2+a1 a2),k∙(a,b)=(ka,kb+(k(k-1))/2 a2).(1)求V的一组基;(2)定义变换A(a,b)=(a,a+b),证明:A是一个线性变换;并求A在V的一组基下的矩阵表示.

设对角矩阵A的特征多项式为 φ(λ)=(λ-λi)ni (诸λi两两互异),求所有和A可交换的矩阵全体所组成的线性空间的维数.