单项选择(2023年理工数学Ⅰ2023年理工数学Ⅱ

已知向量α1=2=1=2=,若γ既可由α12线性表示,也可由β12线性表示,则γ=【 】

A、k,k∈R

B、k,k∈R

C、k,k∈R

D、k,k∈R

答案解析

D

讨论

设向量组A:α1,α2,… ,αs可以由向量组B:β1,β2,… ,βt线性表示且R(A)=R(B).证明向量组A与向量组B等价.

设xoy在平面上n个结点Mi(xi,yi ),i=1,2,…,n(n≥3).证明:M1,M2,…,Mn在同一条直线上⟺R=2.

设α1=,α2=,α3=,则三条直线a1 x+b1 y+c1=0,a2 x+b2 y+c2=0,a3 x+b3 y+c3=0,(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)相交于一点的充要条件是【 】

设B是秩为2的5×4矩阵,α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.

设R^3上的线性变换A(x)=x,则α=生成的A-循环不变空间的维数为________.

设A是n阶复方阵,V1是A的行向量生成的Cn的子空间,V2是A的列向量生成的Cn的子空间,则V1=V2.

设A是n维线性空间V的线性变换,则V=ImA⊕KerA.

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n,定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设:(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n),存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk;(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j), vi∙vj=0.证明:(i) A有一个行向量;对于A的另外任意一个行向量v_i,它有n/2个分量为1,n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m,则可以通过重新排列A的行与列,将A变为方阵这里,X⨂m==是方阵X的m次张量积:两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j',整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q,且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.

设α1=(1,0,0,3),α2=(1,1,-1,2),α3=(1,2,a-3,1),α4=(1,2,-2,a),β=(0,1,b,-1),问a,b为何值时(1) β能由α1,α2,α3,α4线性表示且表示唯一;(2) β不能由α1,α2,α3,α4线性表示;(3) β能由α1,α2,α3,α4线性表示但表示不唯一,并求一般表达式。