大学数学-考博试题(电子科技大学 2002年秋齐次线性方程组)

证明题（2002年秋电子科技大学）

设X₁,X₂是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，Y₁,Y₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，证明X=k₁ (X₁+X₂ )+k₂ (X₁-X₂ )+(3Y₁-2Y₂ ),k₁,k₂∈R是Ax=b的通解。

答案解析

由X1,X2是Ax=0的解，知X1+X2,X1-X2是Ax=0的解；由X1,X2是Ax=0的基础解系，线性无关，可以证明X1+X2,X1-X2线性无关；所以X1+X2,X1-X2也是Ax=0的基础解系...

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讨论

大学数学

设α1=(1,0,0,3),α2=(1,1,-1,2),α3=(1,2,a-3,1),α4=(1,2,-2,a),β=(0,1,b,-1)，问a,b为何值时(1) β能由α1,α2,α3,α4线性表示且表示唯一；(2) β不能由α1,α2,α3,α4线性表示；(3) β能由α1,α2,α3,α4线性表示但表示不唯一，并求一般表达式。

设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足R(A* )=

电子科技大学复变函数

电子科技大学高阶线性微分方程

求方程uxx+10uxy+9uyy=0的通解.

设有一根具有绝热的侧表面均匀的细杆，密度为ρ，横截面面积为A，其初始温度为φ(x)，两端满足下列边界条件之一：(1)一端（x=0）绝热，另一端（x=L）有热流密度q进入；(2)一端（x=0）温度为μ1(t)，另一端（x=L）与温度为θ(t)的介质有热交换。试分别写出上述两种热传导过程的定解问题。

计算积分x3 J0 (x)dx

函数f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环区域：(1) 0<|z|<1；(2) 1<|z|<2；(3) 2<|z|<+∞；内是处处解析的。试把f(z)在这些区域内展成洛朗级数。

求将单位圆映射成单位圆且满足条件ω(1/2)=0,ω'(1/2)>0的分式线性映射.

计算：∮cdz/((z2+1)(z2+z+1))，其中c:为|z|<1.

齐次线性方程组

设A=(α1,α2,α3,α4)为4阶正交矩阵，若矩阵A = ,β = ,k表示任意常数，则线性方程组Ax=β的通解为x=【】

设h(z)是关于自然变量z的多项式.考虑系数在多项式环C[z]中的关于y的三次方程y3-3zy+h(z)=0.(i)当h(z)=-z3-1时，找到此方程的至少一个一次多项式函数解.(ii)假设方程y3-3zy+h(z)=0有三个互不相等的整函数解y=f1(z),f2(z),f3(z)，则h(z)可以取哪些多项式？注：整函数指在整个复平面上解析的函数.

已知线性方程组(I)的一个基础解系为(b11,b12,…,b1 2n)T,(b21,b22,…,b2 2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn 2n)T，试写出线性方程组(II)有通解，并说明理由.

设A,B为n阶矩阵，E为单位矩阵.若方程组Ax=0与Bx=0同解，则【】

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【】

对方程组，试问用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛？为什么？

电子科技大学齐次线性方程组

要使ξ1=,ξ2=都是方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为【】

设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组Ax=0的通解为____________.

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为，又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1).(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.

线性方程组

设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=______.

设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=。(1)试求能使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围；(2)对该方程组写出Jacobi迭代格式（设b=(b1,b2,b3)T已知）。

设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵且A11≠0,b≠0，其中A11为A的a11对应的代数余子式.证明：AX=b有无穷多个解⟺b是A* X=0的解.

设矩阵A=,b=，则线性方程组Ax=b解的情况为【】

设f(x)=，则f(x)=0的根为____________.

当λ,μ为何值时，方程组有惟一解？无解？有无穷解？无穷解时并求其全解.

设X1=(0 2 0)T,X2=(-3 3 2)T是方程组的两个解，求此方程组的一般解。

已知方程组I:，方程组II:问a,b为何值时方程组I和方程组II有相同的解？并求此相同解。

设x1-x2=a1,x2-x3=a2,x3-x4=a3,x4-x5=a4,x5-x1=a5。证明此方程组有解的充分必要条件为ai =0。

用LU方法求解方程组.