解答过程见word版

原式=dxdy (x²+y²) dz

=(x²+y² )(1-(x²+y²)/2)  dxdy   (1)

令,J=r,则

(1)式化为dθr²  (1-r²/2)∙rdr=2π/3.

令x=rcosθsinφ,y=rsinθsinφ,z=rcos,则r=2,φ∈[π/4,π/2]

由于曲面关于三个坐标平面对称，所以

V=8dθ dφ r² sinφ dr=32π/3 (-cos2φ)^3/2 sinφ dφ

=32π/3(1-2 cos²⁡φ )^3/2  d(-cosφ)

令t=cosφ，上式化为：

V=32π/3 (1-2t² )^3/2  dt

令p²=1-2t²，上式化为：

V=(16√2 π)/3 p⁴/√(1-p² ) dp

再令u=p²，上式化为：

V=(8√2 π)/3 u^3/2 (1-u)^-1/2  du=(8√2 π)/3 B(5/2,1/2)

=(8√2 π)/3∙Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(3) =(8√2 π)/3∙(3/4 Γ(1/2)²)/2!=√2 π²

对I_p (u)作恒等变换：

I_p (u)=(∭_Ωu^p  dxdydz)^1/p=

下面考虑1/p ln⁡(∭_Ωu^p  dxdydz)的极限.

一般地，对于lnx，有(lnx)'=1/x,(lnx)''=-1/x² <0,

将lnx在x₀处展开：lnx=lnx₀+1/x₀  (x-x₀ )-1/(2!ξ² ) (x-x₀ )²,ξ介于x与x₀之间，

故：lnx≤lnx₀+1/x₀ (x-x₀)   ①

记x=u^p,x₀=∭_Ωu^p  dxdydz，代入①式得：

lnu^p≤lnx₀+1/x₀ (u^p-x₀)，两边同时积分得：

∭_Ωlnu^p  dxdydz≤ln⁡(∭_Ωu^p  dxdydz)+1/x₀  (∭_Ωu^p  dxdydz-∭_Ωu^p  dxdydz)=ln⁡(∭_Ωu^p  dxdydz)

两边同乘以1/p得：

1/p ∭_Ωlnu^p  dxdydz=∭_Ωlnu dxdydz=≤1/p  ln⁡(∭_Ωu^p  dxdydz)   ②

另一方面，由于lnx≤x-1，故

1/p  ln⁡(∭_Ωu^p  dxdydz)≤1/p (∭_Ωu^p  dxdydz-1)=1/p (∭_Ωu^p  dxdydz-∭_Ωdxdydz)=∭_Ω(u^p-1)/p dxdydz  ③

由于(u^p-1)/p=lnu，补充定义：├ (u^p-1)/p┤|_p=0=lnu，则(u^p-1)/p在p=0处右连续，所以：

⁡∭_Ω(u^p-1)/p dxdydz=∭_Ω^⁡(u^p-1)/p  dxdydz=∭_Ωlnu dxdydz

由②③可得I_p (u)=.