求(x2+y2+z2 )2=4(x2+y2-z2)所围立体的体积.
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计算题（2022年华中科技大学）
答案解析
令x=rcosθsinφ,y=rsinθsinφ,z=rcos,则r=2,φ∈[π/4,π/2]由于曲面关于三个坐标平面对称，所以V=8dθ dφ r2 sinφ dr=32π/3 (-cos2φ)3/2 sinφ dφ=32π/3(1-2 cos2φ )3/2 d(-cosφ)令t=cosφ，上式化为：V=32π/3 (1-2t2 )3...
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设区域D为x2+y2≤R2，则∬D(x2/a2 +y2/b2 )dxdy=____________.
设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设f(x) dx=A,求dxf(x)f(y)dy.
已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.
计算二重积分：∬Dds其中，积分区域D为曲线y(x)=与直线y=0所围成的区域.提示：①首先考察曲线y=y(x)⟹F(x,y)=0为何种曲线，②然后采用“平面极坐标”方法作计算？
计算二重积分∬D3x/(x2+xy3 ) dxdy,D:平面曲线xy=1,xy=3,y2=x,y2=3x所围成的有界闭区域.
计算三重积分∭Ω(x+z)dV，其中Ω是由曲面z=与z=所围成的区域.
设半径为R的球面Σ的球心在定球面x2+y2+z2=a2 (a>0)上，问当R为何值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大？
设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【 】
已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV
设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【 】
求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.
已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p证明：Ip(u)=
求三重积分∭Ω(x2+y2)dxdydz，其中积分区域Ω为x2+y2=2z与z=1围成的区域.
已知f(x)=，将f(x)展开成正弦级数，并求该级数的和函数.
已知S:(x-5)2+2y2+2(z+1)2=3，方向取外侧，计算∬S((x-5)dydz+ydzdx+zdxdy)/[(x-5)2+y2+z2 ](3/2)
求由曲面(x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 )2=x2/a2 +y2/b2 (a,b,c>0)所围成的空间区域的体积.
由曲线y=lnx与两条直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是______.
设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.
过点P(1,0)作抛物线y=的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.
设函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶连续导数，证明：f'' (x)≥0的充要条件是：对任意不同的实数a,b,f((a+b)/2)≤1/(b-a)f(x)dx.