大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2024年二重积分)

单项选择（2024年理工数学Ⅱ；2024年经济数学Ⅲ）

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

A、dyf(x,y)dx

B、dyf(x,y)dx

C、dyf(x,y)dx

D、dyf(x,y)dx

答案解析

A

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

已知函数f(x,y)=，则在点(0,0)处【】

设P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z)均为连续函数，Σ为曲面z=(x≤0,y≥0)的上侧，则∬ΣPdydz+Qdzdx=【】

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

设函数f(x)=ecostdt,g(x)=et² dt，则【】

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

证明双曲抛物面同族的任意两条直母线必是异面直线，且同族的全体直母线平行于同一个平面.

设函数f:R3→R,f(M)=Ax+By+Cz+D，其中A,B,C,D是不全为零的实数，M(x,y,z)∈R3.证明：如果三点M0,M1,M2共线，且(M1 M0 ) ̅=λ(M0 M2 ) ̅,λ∈R,λ≠-1，那么f(M0 )=(f(M1 )+λf(M2))/(1+λ)

在直角坐标系下，已知一点M0 (1,2,0)和一条直线L:，求M0到L的距离，并写出过M0且与L垂直相交的直线方程.

重积分

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

求(x2+y2+z2 )2=4(x2+y2-z2)所围立体的体积.

求三重积分∭Ω(x2+y2)dxdydz，其中积分区域Ω为x2+y2=2z与z=1围成的区域.

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

计算I=∭Ω(x2+y2)dV，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域.

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f+''' (0).

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV

已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p证明：Ip(u)=

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

计算三重积分∭Ω(x+z)dV，其中Ω是由曲面z=与z=所围成的区域.

二重积分

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设f(x) dx=A,求dxf(x)f(y)dy.

计算二重积分∬D3x/(x2+xy3 ) dxdy,D:平面曲线xy=1,xy=3,y2=x,y2=3x所围成的有界闭区域.

计算 ∬D(√x+y)dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x}.

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

计算二重积分：∬Dds其中，积分区域D为曲线y(x)=与直线y=0所围成的区域.提示：①首先考察曲线y=y(x)⟹F(x,y)=0为何种曲线，②然后采用“平面极坐标”方法作计算？

设半径为R的球面Σ的球心在定球面x2+y2+z2=a2 (a>0)上，问当R为何值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大？

积分dxdy=__________.

设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【】

设区域D为x2+y2≤R2，则∬D(x2/a2 +y2/b2 )dxdy=____________.

已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.