大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2024年常数项级数的概念与性质)

单项选择（2024年理工数学Ⅱ）

已知数列{a_n}(a_n≠0)，若{a_n}发散，则【】

A、{a_n+1/a_n}发散

B、{a_n-1/a_n}发散

C、{e^an+1/e^an }发散

D、{e^an-1/e^an }发散

答案解析

D

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

设函数f(x)=ecostdt,g(x)=et² dt，则【】

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

证明双曲抛物面同族的任意两条直母线必是异面直线，且同族的全体直母线平行于同一个平面.

设函数f:R3→R,f(M)=Ax+By+Cz+D，其中A,B,C,D是不全为零的实数，M(x,y,z)∈R3.证明：如果三点M0,M1,M2共线，且(M1 M0 ) ̅=λ(M0 M2 ) ̅,λ∈R,λ≠-1，那么f(M0 )=(f(M1 )+λf(M2))/(1+λ)

在直角坐标系下，已知一点M0 (1,2,0)和一条直线L:，求M0到L的距离，并写出过M0且与L垂直相交的直线方程.

设V是n维线性空间，φ为V上的线性变换，且φ的特征多项式为f(x)=(x-λ1 )m1(x-λ2 )m2(λ1≠λ2)其中m1+m2=n.(1)证明：Ker((φ-λ1 E)m1)是φ的不变子空间，其中E是恒等变换；(2)证明：V=Ker((φ-λ1 E)m1)⨁Ker((φ-λ2 E)m2).

设V是欧氏空间，W是V的子空间，V中的向量α不在W中，问是否存在α0∈W，使得α-α0与W的任意向量都正交？如果不存在，举出例子；如果存在，说明理由并讨论其唯一性.

设A是n阶满秩矩阵，证明：存在正交矩阵P1,P2使得P1-1AP2=其中λi>0(i=1,2,⋯,n).

常数项级数的概念与性质

函数(x+2)n/(2n(n+1))的定义域是【】

解答如下问题：(1)设{an },{bn}为两个数列，且Bn=b1+b2+⋯+bn，证明：an bn=an Bn+Bk (ak-ak-1)(2)记⁡1/n kxk=A，证明：⁡1/n2 k2 xk=A/2.

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

求级数1/((n2-1)2n)的和.

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

求级数(n2+1)/n!的和.

已知函数f(x,y)=，则在点(0,0)处【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

设非负函数f(x)在[0,+∞)上连续，给出以下三个命题：①若f² (x)收敛，则f(x)收敛.②若存在p>1，使得xp f(x)存在，则f(x)收敛.③若f(x)收敛，则存在p>1，使得xp f(x)存在.其中真命题个数为【】

设A为3阶矩阵，P=，若PT AP²=，则A=【】

无穷级数

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】

设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.

证明：当x>0时，ln√x=1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1 ，并讨论1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1关于x∈(0,+∞)是否一致收敛.

设函数f(x)=x2,0≤x<1，而S(x)=bnsinnπx,-∞<x<+∞，其中bn=2f(x)sinnπxdx,x=1,2,3,…，则S(-1/2)等于【】

将函数f(x)=arctan⁡(1+x)/(1-x)展开为x的幂级数.

设α为常数，则级数(sinnα/n2 -1/√n)【】

将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数1/n2 的和.

设f(x)=，则其以2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于__________.

级数(-1)n(1-cos⁡ α/n)(常数α>0)【】

设函数f(x)=πx+x2 (-π<x<π)的傅里叶级数展开式为a0/2+(ancosnx+bnsinnx)，其中系数b3的值为__________.