大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2024年间断点)

单项选择（2024年理工数学Ⅱ）

函数f(x)=|x|^1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

A、3

B、2

C、1

D、0

答案解析

C

【解析】

解答过程见word版

讨论

连续函数

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

(1)叙述函数f(x)在区间I一致连续的定义；(2)用肯定语言叙述函数f(x)在区间I不一致连续的定义；(3)设f(x)=sin 1/x,a>0为任一常数，证明：函数f(x)在区间[a,+∞)上一致连续，但在区间(a,+∞)上不一致连续。

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(1)证明：f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值（选最小值证明）；(2)进一步，还假设f(x)在[a,b]上处处不为零，试用定义证明函数1/f2(x)在[a,b]上连续.

设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是__________.

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)绝对可积，函数g(x)在区间(-∞,+∞)有界且满足：|g(x)-g' (x)|≤L|x-x' |,L>0是常数.证明：函数F(y)=f(x)g(x)dx在区间(-∞,+∞)上一致连续.

设f(x)=在(-∞,+∞)内连续，则a=________.

函数与极限

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

江苏省数列极限存在准则

设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则=__________。

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

设x1=10,xn+1=(n=1,2,⋯)，试证数列{xn}的极限存在，并求此极限.

间断点

设F(x)=，其中f(x)在x=0处可导，f' (0)≠0,f(0)=0，则x=0是F(x)的【】

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

已知函数f(x,y)=，则在点(0,0)处【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

设非负函数f(x)在[0,+∞)上连续，给出以下三个命题：①若f² (x)收敛，则f(x)收敛.②若存在p>1，使得xp f(x)存在，则f(x)收敛.③若f(x)收敛，则存在p>1，使得xp f(x)存在.其中真命题个数为【】

设A为3阶矩阵，P=，若PT AP²=，则A=【】

设A为4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若A(A-A*)=0，且A≠A*，则r(A)取值为【】