大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2024年隐函数及参数方程相关导数)

单项选择（2024年理工数学Ⅱ）

设函数y=f(x)由参数方程确定，则 lim x->+∞ ⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

A、2e

B、4e/3

C、2e/3

D、e/3

答案解析

B

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

证明双曲抛物面同族的任意两条直母线必是异面直线，且同族的全体直母线平行于同一个平面.

设函数f:R3→R,f(M)=Ax+By+Cz+D，其中A,B,C,D是不全为零的实数，M(x,y,z)∈R3.证明：如果三点M0,M1,M2共线，且(M1 M0 ) ̅=λ(M0 M2 ) ̅,λ∈R,λ≠-1，那么f(M0 )=(f(M1 )+λf(M2))/(1+λ)

在直角坐标系下，已知一点M0 (1,2,0)和一条直线L:，求M0到L的距离，并写出过M0且与L垂直相交的直线方程.

设V是n维线性空间，φ为V上的线性变换，且φ的特征多项式为f(x)=(x-λ1 )m1(x-λ2 )m2(λ1≠λ2)其中m1+m2=n.(1)证明：Ker((φ-λ1 E)m1)是φ的不变子空间，其中E是恒等变换；(2)证明：V=Ker((φ-λ1 E)m1)⨁Ker((φ-λ2 E)m2).

设V是欧氏空间，W是V的子空间，V中的向量α不在W中，问是否存在α0∈W，使得α-α0与W的任意向量都正交？如果不存在，举出例子；如果存在，说明理由并讨论其唯一性.

设A是n阶满秩矩阵，证明：存在正交矩阵P1,P2使得P1-1AP2=其中λi>0(i=1,2,⋯,n).

证明：秩等于r的矩阵可以表示为r个秩等于1的矩阵之和，但不能表示为少于r个秩等于1的矩阵之和.

设f(x)是有理数域Q上的一个m次多项式，n是大于m的正整数，证明不是f(x)的实根.

设矩阵A=,β=，已知线性方程组AX=β有解但不唯一.(1)求a的值；(2)求一个正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵.

隐函数及参数方程相关导数

设，则d²y/dx²|t=1=________.

已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y''(1)=__________.

已知，求d2y/dx2.

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan⁡(2xy)=1确定，则 = ______.

设，求dy/dx,(d2 y)/(dx2 ).

设，则(d2 y)/(dx2 )=__________.

由方程xyz+=√2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=____________.

设函数y=f(x)由确定，则【】

导数与微分

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

已知函数f(x)=x²(ex+1)，则f(5)(1)=___________.

若y=f(x)，有f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

已知y=1+xexy，求 y'|x=0及y''|x=0.

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

设tany=x+y，则dy=__________.

已知y=arcsine-√x，求y'.

已知，求dy/dx,d2y/dx2

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

求由方程2y-x=(x-y)ln⁡(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.