设A是n阶初满秩矩阵，证明：存在正交矩阵P1,P2使得
P1-1AP2=
其中λi>0(i=1,2,⋯,n).
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证明：秩等于r的矩阵可以表示为r个秩等于1的矩阵之和，但不能表示为少于r个秩等于1的矩阵之和.
设A=，其中a_i≠0,b≠0(i=1,2,⋯,n)，则矩阵A的秩r(A)=________.
设A，B都是n(n≥2)阶复方阵，则rank(AB)=rank(BA).
已知n阶矩阵A,B,C满足ABC=0，E是n阶单位矩阵，记矩阵,,的秩分别为γ1,γ2,γ3，则【 】
设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足R(A* )=
设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)其中符号r(T)表示矩阵T的秩。
设S1,S3为实对称矩阵，S2为实矩阵，则矩阵S=为正定矩阵的充要条件为矩阵S3与矩阵S1-S2 S3-1 S2'皆为正定矩阵。
设A为实对称矩阵。证明当实数t充分大之后，tI+A是正定矩阵，其中I表示单位矩阵。
设A=(aij)n×n为正定矩阵.证明：f(x1,x2,…,xn )=是负定二次型，其中符号|∙|表示行列式.
设A=为n×n正定矩阵，证明：|A|≤a11 a22…ann.其中符号|∙|表示行列式.
设A是n阶正定矩阵，B为n阶实方阵，证明：(1)若B'=B,则AB的特征值为实数；(2)若B正定,则AB的特征值皆大于0；(3)若B正定,且AB=BA,则AB正定。
设A,B均为n阶实对称阵，A的特征值均小于a，B的特征值均小于b.证明：对任意的k>a+b,A+B-kE是负定矩阵.
设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1.
设二次型f(x1,x2 )=x1²-4x1 x2+4x2²经正交变换=Q化为二次型g(y1,y2 )=ay1²+4y1 y2+by2²，其中a≥b.(1)求a,b的值；(2)求正交矩阵Q.
已知α=[1,2,3],β=[1,1/2,1/3]，设A=αTβ，其中αT是α的转置，则An=________________.
设3阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=，则B=____________.
设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加第1列，得到矩阵，则A-1的迹tr(A-1)=__________.
设A=，则A-1=__________，A2022=__________，A的最大奇异值σ1=__________.
设B为一r×r矩阵，C为一r×n矩阵.如果BC=C,问B=E是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例，并给出使B=E的充要条件。其中E为单位矩阵.
设A是一个n×n实矩阵，秩(A)=1，证明A2=kA，其中k为一实数.
设4阶矩阵B=,C=，且矩阵A满足关系式A(E-C-1 B)T CT=E,其中E为4阶单位矩阵，C-1表示 C的逆矩阵，CT表示 C的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵A.