设二次型f(x1,x2 )=x1²-4x1 x2+4x2²经正交变换
=Q
化为二次型g(y1,y2 )=ay1²+4y1 y2+by2²，其中a≥b.
(1)求a,b的值；
(2)求正交矩阵Q.
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问答题（2020年理工数学Ⅰ）
答案解析
(1) a=4,b=1
(2) Q=
(详细解答过程见word版)
讨论
设A，B都是n(n≥2)阶复方阵，则rank(AB)=rank(BA).
已知n阶矩阵A,B,C满足ABC=0，E是n阶单位矩阵，记矩阵,,的秩分别为γ1,γ2,γ3，则【 】
设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足R(A* )=
方阵A=，而n≥2为整数，则A2-2An-1=__________。
已知A=,B=满足(E-A-1B) XT=A-1（其中E为单位阵），试求X。
考虑循环矩阵A=证明：(1) A=a0 In+a1 T+a2 T2+⋯+an-1 Tn-1，其中T=In表示n×n单位矩阵。(2) T相似于对角矩阵。(3) A相似于对角矩阵。
设A∈Rm×n,rankA=r，证明存在可逆矩阵M∈Rm×m及正交矩阵P∈Rn×n，使得MAP= 其中Rm×n表示 m×n实数矩阵空间，Ir表示r×r单位矩阵，C∈Rr×(n-r)。
设A为2阶矩阵，P(α,Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量(1)证明P为可逆矩阵；(2)若A²α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵.
设A是2022阶可逆对称实方阵，则A必有2021阶非零主子式
设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为M的伴随矩阵，则=【 】
设A为实对称矩阵。证明当实数t充分大之后，tI+A是正定矩阵，其中I表示单位矩阵。
设B为一r×r矩阵，C为一r×n矩阵.如果BC=C,问B=E是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例，并给出使B=E的充要条件。其中E为单位矩阵.
设A是一个n×n实矩阵，秩(A)=1，证明A2=kA，其中k为一实数.
设A,B,C,D都是n×n矩阵，且|A|≠0,AC=CA，证明=|AD-CB|.
设A=(aij)n×n为正定矩阵.证明：f(x1,x2,…,xn )=是负定二次型，其中符号|∙|表示行列式.
设4阶矩阵B=,C=，且矩阵A满足关系式A(E-C-1 B)T CT=E,其中E为4阶单位矩阵，C-1表示 C的逆矩阵，CT表示 C的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵A.
设=QR，其中Q是正交方阵，R是对角线元素大于0的上三角方阵，则R=________.
设A=,B=且A与B相似.(1)求α,β的值;(2)求可逆阵P使P-1 AP=B.
设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.
设A=(aij)是n阶实对称正定矩阵，b1,b2,…,bn为任意非零实数，证明B=(aijbibj)也是正定的。
设A为任一n阶矩阵，数λ>0，证明λI+AT A为正定矩阵。
证明：任一可逆的实矩阵A可以表示成A=QB，其中Q为正交矩阵，B是主对角线上元素均为正的三角形矩阵：B=,bii>0,且此表示式是惟一的。