问答题(2023年东北师范大学

设V是欧氏空间,W是V的子空间,V中的向量α不在W中,问是否存在α0∈W,使得α-α0与W的任意向量都正交?如果不存在,举出例子;如果存在,说明理由并讨论其唯一性.

答案解析

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讨论

设V是n维线性空间,φ为V上的线性变换,且φ的特征多项式为f(x)=(x-λ1 )m1(x-λ2 )m2(λ1≠λ2)其中m1+m2=n.(1)证明:Ker((φ-λ1 E)m1)是φ的不变子空间,其中E是恒等变换;(2)证明:V=Ker((φ-λ1 E)m1)⨁Ker((φ-λ2 E)m2).

已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T,则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.

设对角矩阵A的特征多项式为 φ(λ)=(λ-λi)ni (诸λi两两互异),求所有和A可交换的矩阵全体所组成的线性空间的维数.

设R2中的内积为(α,β)=α' Aβ,A=,则,在此内积之下的度量矩阵为________.

已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V:(a1,b1 )+(a2,b2 )=(a1+a2,b1+b2+a1 a2),k∙(a,b)=(ka,kb+(k(k-1))/2 a2).(1)求V的一组基;(2)定义变换A(a,b)=(a,a+b),证明:A是一个线性变换;并求A在V的一组基下的矩阵表示.

已知A ̅和B ̅分别是三维空间中的矢量矩阵和单位方向矢量;A ̅=Ax+Ay+Az;( Ax=,Ay=,Az=B ̅=cosα+cosβ+cosγ;( cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1)计算矩阵求和c=k(A ̅∙B ̅)k +2k (A ̅∙B ̅)2k.提示:首先考察(A ̅∙B ̅)2=?

在P[x]4定义内积:(f(x),g(x))=f(x)g(x) dx,f(x),g(x)∈P[x]4,并定义线性变换A:Aεi=ηi,i=1,2,3,4.ε1=1/2 (1+x+x2+x3 ),η1=2x+x2-x3 ε2=1/2 (-1-x+x2+x3 ),η2=-1-x2-2x3 ε3=1/2 (-1+x-x2+x3 ),η3=-2x-x2+x3 ε4=1/2 (-1+x+x2-x3 ),η4=1-4x-x2 求A的核空间的一个标准正交基.

设B是秩为2的5×4矩阵,α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.

设R^3上的线性变换A(x)=x,则α=生成的A-循环不变空间的维数为________.

设A是n阶复方阵,V1是A的行向量生成的Cn的子空间,V2是A的列向量生成的Cn的子空间,则V1=V2.