设V是欧氏空间,W是V的子空间,V中的向量α不在W中,问是否存在α0∈W,使得α-α0与W的任意向量都正交?如果不存在,举出例子;如果存在,说明理由并讨论其唯一性.
设V是欧氏空间,W是V的子空间,V中的向量α不在W中,问是否存在α0∈W,使得α-α0与W的任意向量都正交?如果不存在,举出例子;如果存在,说明理由并讨论其唯一性.
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设A是n阶初满秩矩阵,证明:存在正交矩阵P1,P2使得P1-1AP2=其中λi>0(i=1,2,⋯,n).
证明:秩等于r的矩阵可以表示为r个秩等于1的矩阵之和,但不能表示为少于r个秩等于1的矩阵之和.
设f(x)是有理数域Q上的一个m次多项式,n是大于m的正整数,证明不是f(x)的实根.
设矩阵A=,β=,已知线性方程组AX=β有解但不唯一.(1)求a的值;(2)求一个正交矩阵Q,使得QTAQ为对角矩阵.
设函数f:[0,1]→R是连续的且在(0,1)上可微,若f满足:(1) f(0)=0;(2)存在常数M>0使得|f'(x)|≤M|f(x)|对任意x∈(0,1)成立.证明:在[0,1]上f(x)=0.
设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续,且[f(x)-g(x)]=0.证明:f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.
证明:当x>0时,ln√x=1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1 ,并讨论1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1关于x∈(0,+∞)是否一致收敛.
已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T,则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.
设对角矩阵A的特征多项式为 φ(λ)=(λ-λi)ni (诸λi两两互异),求所有和A可交换的矩阵全体所组成的线性空间的维数.
设R2中的内积为(α,β)=α' Aβ,A=,则,在此内积之下的度量矩阵为________.
设B是秩为2的5×4矩阵,α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.
已知同维数的两个向量组有相同的秩,且其中之一可用另外一个线性表示,证明:这两个向量组等价。
设向量组A:α1,α2,… ,αs可以由向量组B:β1,β2,… ,βt线性表示且R(A)=R(B).证明向量组A与向量组B等价.
设xoy在平面上n个结点Mi(xi,yi ),i=1,2,…,n(n≥3).证明:M1,M2,…,Mn在同一条直线上⟺R=2.
已知向量组α1=(1,2,3,4),α2=(2,3,4,5),α3=(3,4,5,6),α4=(4,5,6,7),则该向量组的秩是______.
设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n<m,E是n阶单位矩阵,若AB=E,证明B的列向量组线性无关.
设α1=,α2=,α3=,则三条直线a1 x+b1 y+c1=0,a2 x+b2 y+c2=0,a3 x+b3 y+c3=0,(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)相交于一点的充要条件是【 】
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.
设α1,α2,…,αr是n维向量.令β1=α2+α3+⋯+αr,β2=α1+α3+⋯+αr,…,βr=α1+α2+⋯+αr-1.证明向量组β1,β2,…,βr与向量组α1,α2,…,αr有相同的秩.