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证明题（2022年华中科技大学）

解答如下 问题：

(1)设{an },{bn}为两个数列，且Bn=b1+b2+⋯+bn，证明：

an bn=an Bn+Bk (ak-ak-1)

(2)记20190216204018.png⁡1/n kxk=A，证明：20190216204018.png⁡1/n2 k2 xk=A/2.

答案解析

(1)由已知，b1=B1,bk=Bk-Bk-1an bn =a1 b1+a2 b2+⋯+an bn=a1 B1+a2 (B2-B1 )+⋯+an (Bn-Bn-1)=a1 B1+a2 B2-a2 B1+⋯+an Bn-an Bn-1=B1 (a1-a2 )+B2 (a2-a3 )+⋯+Bn-1 (an-1-a...

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讨论

函数极限的性质

函数f(x)=xsinx

设f(x)与g(x)在(-∞,+∞)上皆可导，且f(x)<g(x)，则必有【 】

若=2，其中a2+c2≠0，则必有【 】

已知⁡(x2/(x+1)-ax-b)=0，其中a,b是常数，则【 】

⁡(3sinx+x2cos⁡(1/x))/((1+cosx)ln⁡(1+x))=________.

设f(x)/lnx=1，则【 】

当a=__________，b=__________时，有arctanx=-

莫斯科经济统计学院函数极限的性质

南京大学函数极限的性质

求y=x3/(x-1)2 cos⁡(2arctanx)的所有渐近线.

常数项级数的概念与性质

求级数1/((n2-1)2n)的和.

函数(x+2)n/(2n(n+1))的定义域是【 】

求级数(n2+1)/n!的和.

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【 】

已知f(x)=，将f(x)展开成正弦级数，并求该级数的和函数.

已知α>0，求极限.

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

已知S:(x-5)2+2y2+2(z+1)2=3，方向取外侧，计算∬S((x-5)dydz+ydzdx+zdxdy)/[(x-5)2+y2+z2 ](3/2)

证明：f(x)=tx-1 e-t lntdt 在(0,+∞)上连续.

无穷级数

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【 】

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

将函数f(x)=arctan⁡(1+x)/(1-x)展开为x的幂级数.

求幂级数(2n+1) xn 的收敛域，并求其和函数.

级数(-1)n(1-cos⁡ α/n)(常数α>0)【 】

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

设常数λ>0，且级数an2 收敛，则级数(-1)n |an |/【 】