大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2024年变限积分)

单项选择（2024年理工数学Ⅰ）

设函数f(x)=e^costdt,g(x)=e^t² dt，则【】

A、f(x)是奇函数，g(x)是偶函数

B、f(x)是偶函数，g(x)是奇函数

C、f(x)与g(x)均为奇函数

D、f(x)与g(x)均为周期函数

答案解析

C

【解析】

解答过程见word版

讨论

变限积分

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

设x≥-1，求(1-|t|)dt.

设，求dy/dx,(d2y)/(dx2)在t=的值.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

设f(x)连续，则d/dx tf(x2-t2)dt等于【】

设f(x)=sint2dt,g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的【】

函数F(x)=(2-1/√t) dt(x>0)的单调减少区间为__________.

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

定积分

计算(1/t-[1/t]) dt

设p为常数，若反常积分lnx/(xp(1-x)1-p) dx收敛，则p的取值范围是【】

(2x+3)/(x2-x+1)dx=__________.

计算积分xm-1/(1+xn) dx，其中0<m<n.

南京大学定积分的概念与性质

求证：J=ln⁡(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.

判断dx/(ex+1)的敛散性.

设[a,+∞)上非负连续函数f可导，且具有连续导函数，若存在r>1，使xf'(x)/f(x)≤-r，证明：反常积分f(x)dx收敛.

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

函数

f(x)=|xsinx| ecosx,-∞<x<+∞是【】

设函数f(x)=，则函数f[f(x)]=__________.

设 f(x) 是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则【】

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】

在平面直角坐标系中，椭圆x2+xy+y2=1的长轴方程为__________，位于x轴上半平面内的焦点坐标为__________.

已知φ(x)=|x-t|f(t)dt，若积分存在，且f(x)>0，证明：φ(x)为[a,b]上的凸函数.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

设a1=1,an=sinan-1 (n≥2)，证明：an≥(n≥2).

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。