大学数学-考研试题(东北师范大学 2023年定积分的概念与性质)

计算题（2023年东北师范大学）

计算(1/t-[1/t]) dt

答案解析

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讨论

大学数学

计算∫L(x²+y²+z²)ds，其中L:x=acost,y=asint,z=bt,t∈[0,2π].

东北师范大学两个重要极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

设某种元器件的使用寿命T的分布函数为F(t)=其中θ,m为参数且均大于零.(1)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s}，其中s>0,t>0.(2)任取n个这种元件做寿命实验，测得它们的寿命分别为t1,⋯,tn，若m已知，求θ的最大似然估计值.

设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1,X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3=0}=P{X3=1}=1/2,Y=X3 X1+(1-X3 ) X2(1)求二维随机变量(X1,Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ(x)表示；(2)证明随机变量Y服从标准正态分布.

设A为2阶矩阵，P(α,Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量(1)证明P为可逆矩阵；(2)若A²α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵.

设二次型f(x1,x2 )=x1²-4x1 x2+4x2²经正交变换=Q化为二次型g(y1,y2 )=ay1²+4y1 y2+by2²，其中a≥b.(1)求a,b的值；(2)求正交矩阵Q.

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

设Σ为曲面z=(1≤x²+y²≤4)的下侧，f(x)是连续函数，计算I=∬Σ(xf(xy)+2x-y)dydz+(yf(xy)+2y+x)dzdx+(zf(xy)+z)dxdy.

定积分

判断dx/(ex+1)的敛散性.

设[a,+∞)上非负连续函数f可导，且具有连续导函数，若存在r>1，使xf'(x)/f(x)≤-r，证明：反常积分f(x)dx收敛.

讨论sinbx/xλ dx(b≠0)的绝对收敛性和条件收敛性.

证明：广义积分lnx/√x dx收敛.

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

先说明广义积分dx/(a4+x4 )收敛（a>0是常数），再计算其积分值.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

已知f(x)dx条件收敛，且f+(x)=(|f(x)|+f(x))/2,f-(x)=(|f(x)|-f(x))/2证明：(1) f+(x)dx,f-(x)dx均发散到+∞;(2)当A→+∞时，f+(x) dx与f-(x)dx等价.

求积分I(a)=arctan⁡(ax)/(x(1+x2)) dx,a>0.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.

定积分的概念与性质

下列两个积分的大小关系是：dx_______dx.

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b]，则积分xf(x)dx等于【】

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

设f(x)在(0,1)可微，且有x2 f(x) dx=0，证明：存在θ∈(0,1)，使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)取正值，由积分中值定理有f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)若f+' (a)存在且f+' (a)≠0，求(ξ-a)/(x-a).

设I1=x/2(1+cosx) dx,I2=ln⁡(1+x)/(1+cosx) dx,I3=2x/(1+sinx) dx，则【】

设M=sinx/(1+x2)cos4⁡x dx,N=(sin3x+cos4⁡x )dx,P=(x2sin3⁡x-cos4⁡x)dx，则有【】

d/dx xcost2dt=______________.

设F(x)=esintsintdt，则F(x)【】