大学数学-考研试题(东北师范大学 2023年多元函数的概念与极限)

计算题（2023年东北师范大学）

求(1-cos)/tan

答案解析

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大学数学

东北师范大学两个重要极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

设某种元器件的使用寿命T的分布函数为F(t)=其中θ,m为参数且均大于零.(1)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s}，其中s>0,t>0.(2)任取n个这种元件做寿命实验，测得它们的寿命分别为t1,⋯,tn，若m已知，求θ的最大似然估计值.

设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1,X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3=0}=P{X3=1}=1/2,Y=X3 X1+(1-X3 ) X2(1)求二维随机变量(X1,Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ(x)表示；(2)证明随机变量Y服从标准正态分布.

设A为2阶矩阵，P(α,Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量(1)证明P为可逆矩阵；(2)若A²α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵.

设二次型f(x1,x2 )=x1²-4x1 x2+4x2²经正交变换=Q化为二次型g(y1,y2 )=ay1²+4y1 y2+by2²，其中a≥b.(1)求a,b的值；(2)求正交矩阵Q.

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

设Σ为曲面z=(1≤x²+y²≤4)的下侧，f(x)是连续函数，计算I=∬Σ(xf(xy)+2x-y)dydz+(yf(xy)+2y+x)dzdx+(zf(xy)+z)dxdy.

设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.

计算曲线积分I=∫(4x-y)/(4x²+y² ) dx+(x+y)/(4x²+y² ) dy，其中I是曲线L:x²+y²=2，方向为逆时针方向.

多元函数的概念与极限

设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,n= (∂f/∂x,∂f/∂y,-1)|(0,0)，非零向量r与n垂直，则【】

xy (3x-4y)/(x2+y2)

若f(x,y)在区域D内对x和y都是连续的，则f(x,y)对(x,y)D为二元连续.

计算∫L(x²+y²+z²)ds，其中L:x=acost,y=asint,z=bt,t∈[0,2π].

计算(1/t-[1/t]) dt

设u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)由x=u+v+w,y=uv+uw+vw,z=uvw确定，求∂u/∂x,∂u/∂y,∂u/∂z.

计算∫Γex(1-cosy)dx-ex(y-siny)dy，其中Γ:y=sinx,x∈[0,π]，方向从(π,0)到(0,0).

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

多元函数微分法

设函数f(x,y)=ext²dt，则∂²f/∂x∂y|(1,1)=______

求f(x,y)=x³+8y³-xy的极值.

设z=1/x f(xy)+yφ(x+y),f,φ具有二阶连续导数，则∂2z/∂x∂y=________________.

函数f(x,y)=x2+2y2在(0,1)的最大方向导数为______.

当x≥0,y≥0时，x2+y2≤kex+y恒成立，则k的最小值是__________.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q=12x1/2 y1/6，该产品的销售单价P与Q的关系为P=1160-1.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.

设u(x,y,z)=，证明：d2u≥0.

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.