大学数学-考研试题(东北师范大学 2023年对弧长的曲线积分)

计算题（2023年东北师范大学）

计算∫_L(x²+y²+z²)ds，其中L:x=acost,y=asint,z=bt,t∈[0,2π].

答案解析

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讨论

大学数学

东北师范大学两个重要极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

设某种元器件的使用寿命T的分布函数为F(t)=其中θ,m为参数且均大于零.(1)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s}，其中s>0,t>0.(2)任取n个这种元件做寿命实验，测得它们的寿命分别为t1,⋯,tn，若m已知，求θ的最大似然估计值.

设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1,X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3=0}=P{X3=1}=1/2,Y=X3 X1+(1-X3 ) X2(1)求二维随机变量(X1,Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ(x)表示；(2)证明随机变量Y服从标准正态分布.

设A为2阶矩阵，P(α,Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量(1)证明P为可逆矩阵；(2)若A²α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵.

设二次型f(x1,x2 )=x1²-4x1 x2+4x2²经正交变换=Q化为二次型g(y1,y2 )=ay1²+4y1 y2+by2²，其中a≥b.(1)求a,b的值；(2)求正交矩阵Q.

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

设Σ为曲面z=(1≤x²+y²≤4)的下侧，f(x)是连续函数，计算I=∬Σ(xf(xy)+2x-y)dydz+(yf(xy)+2y+x)dzdx+(zf(xy)+z)dxdy.

设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.

曲线积分与曲面积分

计算曲线积分I=∫(4x-y)/(4x²+y² ) dx+(x+y)/(4x²+y² ) dy，其中I是曲线L:x²+y²=2，方向为逆时针方向.

计算∫Γex(1-cosy)dx-ex(y-siny)dy，其中Γ:y=sinx,x∈[0,π]，方向从(π,0)到(0,0).

计算积分∬Sx3 dydz+y3 dzdx+z3 dxdy，其中S为球面x2+y2+z2=a2 (a>0)的外侧.

求∫C1/(xdx+ydy)，其中C是从(1,0)到(0,2)的光滑曲线（不过原点）.

设S是x2+y2+z2=1的外侧，计算∬Sx(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy

设空间有界区域Ω中，柱面x²+y²=1与平面z=0和x+z=1围成，Σ为Ω边界的外侧，计算曲面积分I=∰Σ2xzdydz+xzcosydzdy+3yzsinxdxdy

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2+y2-xy=1,x2+y2-xy=2与直线y=√3 x,y=0围成，计算∬D1/(3x2+y2 ) dxdy.

设S是单位球面x²+y²+z²=1被锥z>所截部分曲面，定向取球外侧为正向，则对于F=(xy+cosz)i+(-xy-x² )j+(x+2z²)k，曲面积分∬SFdS=________.

计算第二型曲面积分x(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy其中Σ为球面x2+y2+z2=1的外侧.

由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，以及由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，直线x=-√3围成了两块平面图形F1和F2（其中，F1的边界长度为有限值，而F2的边界长度为无穷大）.(1)计算出平面图形F1的面积S1=？(2)计算出平面图形F2的面积S2=？提示：采用平面极坐标(r,θ)作计算较为简单.[不定积分公式：∫tg2θdθ=tgθ-θ+C可直接引用]

对弧长的曲线积分

设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有2xydx+Q(x,y)dy=2xydx+Q(x,y)dy，求Q(x,y).

计算曲线积分∮C(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中C是曲线从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的.

设L为椭圆x2/4+y2/3=1，其周长记为a，则∮L(2xy+3x2+4y2)ds=__________.

求I=∫L[exsiny-b(x+y)]dx+(excosy-ax)dy，其中a,b为常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=到点O(0,0)的弧.

求∫Cx2ds，其中C为x2+y2+z2=a2 (a>0)与z=的交线.

计算积分∬SzdS，其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

计算积分x3 J0 (x)dx

设曲面：z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2，柱壁面：y=x2-5/9，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设曲面：z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2，柱壁面：9y-9x2+5=0，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分∮L(2xy-2y)dx+(x2 - 4x)dy=________.