设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max|f(x)|,x∈[0,2]，证明：
(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；
(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.
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证明题（2020年理工数学Ⅰ）
答案解析
(1)由题设，f(x)在[0,2]上连续，且M=max|f(x)|,x∈[0,2].若M=0，则结论成立；若M>0，则∃x0∈(0,2)，使|f(x0 )|=M.若0<x0≤1，由拉格朗日中值定理得|f' (ξ)|=|(f(x0 )-f(0))/(x0-0)|=(|f(x0)|)/x0 =M/x0 ≥M,ξ∈(0,x0)⊂(0,2)若1<x0≤2，由拉格朗日中值定理得|f' (ξ)|=|(f(2)-f(x0 ))/(2-x0 )|=(|f(x0)|)/(2-x0 )=M/2-x0 ≥M,ξ∈(x0,2)⊂(0,2)(2)由(1)知，∃x0∈(0,2)，使|f(x0 )|=M，则M=|f(x0 )|=|f(x0 )-f(0)|=|∫0x0f' (x) dx...
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设Σ为曲面z=(1≤x²+y²≤4)的下侧，f(x)是连续函数，计算I=∬Σ(xf(xy)+2x-y)dydz+(yf(xy)+2y+x)dzdx+(zf(xy)+z)dxdy.
设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.
计算曲线积分I=∫(4x-y)/(4x²+y² ) dx+(x+y)/(4x²+y² ) dy，其中I是曲线L:x²+y²=2，方向为逆时针方向.
设X服从区间(-π/2,π/2)的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X,Y)=________.
设函数f(x,y)=ext²dt，则∂²f/∂x∂y|(1,1)=______
若函数f(x)满足f'' (x)+af' (x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m,f' (0)=n，则f(x)dx=________.
设f(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续，且f(1)-f(0)=2e-1-1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得eξ^2 f' (ξ)+2ξ3=0.
若函数f(x)在[a,b]上连续(b>0)，在(a,b)内可导，且f(a)=0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=ξf(ξ)/(b-ξ).
证明方程lnx=x/e-dx在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b).证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f' (ξ)>0.
设f在[0,1]上连续，在(0,1)上有二阶连续导数，f(0)=f(1)=1,f'' (x)<8，证明：对任意的x∈[0,1]，有f(x)>0.
已知f''(x)<0,f(0)=0，证明对任何x1>0,x2>0，恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.
设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)≥k>0,f(0)<0，证明：f(x)在(0,+∞)有且仅有一个零点.