大学数学-考研试题(中国科学技术大学 2022年对面积的曲面积分)

计算题（2022年中国科学技术大学）

计算积分∬_Sx³ dydz+y³ dzdx+z³ dxdy，其中S为球面x²+y²+z²=a² (a>0)的外侧.

答案解析

暂无答案

讨论

大学数学

计算R3中曲面(x12)/(a12 )+(x22)/(a22 )=(x32)/(a32 )与超平面x3=a3所围锥体的体积，a1,a2,a3>0.

计算积分xm-1/(1+xn) dx，其中0<m<n.

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】

对有界数列{xn}，下面哪个说法可作为xn=L的定义【】（此题不全，待更新）

由下面哪个条件能够判断{xn}收敛【】

函数(x+2)n/(2n(n+1))的定义域是【】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b]，则积分xf(x)dx等于【】

如果y=(x+t)dt，则 dy/dx|x=0等于【】

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

对面积的曲面积分

设有界区域D是圆x2 + y2 = 1和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分(x2 - y2)dxdy.

计算(sin⁡(x3y)+x2y)dxdy，其中D由y=x3,y=-1和x=1围成的有限闭区域.

计算：∮cdz/((z2+1)(z2+z+1))，其中c:为|z|<1.

计算sinx/x dxdy，其中D是由直线y=x以及抛物线y=x2围成的区域。

计算∬Dxdxdy，其中D是以O(0,0),A(1,2),B(2,1)为顶点的三角形区域。

计算第二型曲面积分x(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy其中Σ为球面x2+y2+z2=1的外侧.

由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，以及由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，直线x=-√3围成了两块平面图形F1和F2（其中，F1的边界长度为有限值，而F2的边界长度为无穷大）.(1)计算出平面图形F1的面积S1=？(2)计算出平面图形F2的面积S2=？提示：采用平面极坐标(r,θ)作计算较为简单.[不定积分公式：∫tg2θdθ=tgθ-θ+C可直接引用]

计算第二型曲面积分∬S,其中S是下半球面z=-的下侧，a>0是常数.

设∑为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分I=∬∑ x3dydz+y3dzdx+z3dxdy.

计算曲面积分I=∬Σ(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中Σ为上半球面z=的上侧.

曲线积分与曲面积分

计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.

向量场u(x,y,z)=xy2i+ye2j+xln(1+z2)k在点P(1,1,0)处的散度divu=________.

求曲面积分I=∬S yzdzdx+2dxdy，其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z≥0的部分.

设数量场u=ln，则div(gradu)=________________.

设曲面：z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2，柱壁面：9y-9x2+5=0，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分∮L(2xy-2y)dx+(x2 - 4x)dy=________.

设平面L是下半圆周y=-，则曲线积分∫L(x2+y2)ds=________.

设曲线积分∫Cxy2dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ(x)具有连续的导数，且φ(0)=0，计算xy2dx+yφ(x)dy的值.

质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离，其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于π/2求变力F对质点P所做的功.

在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3) dx+(2x+y)dy的值最小.