大学数学-考研试题(吉林大学 2022年两个重要极限)

计算题（2022年吉林大学）

求极限(cos⁡(tanx)-cosx)/(x³sinx).

答案解析

将cos⁡(tanx) Taylor展开，

原式=(cos⁡(tanx)-cosx)/x⁴ = (1)

而tanx的Tanlor展式为：tanx=x+x³/3+2x⁵/15+⋯,

所以(1)式==-1/3.

讨论

函数极限

函数f(x)=xsinx

当x→1时，函数(x2-1)/(x-1) e1/(x-1)的极限【】

若=2，其中a2+c2≠0，则必有【】

设[(x+2a)/(x-a)]x=8，则a=________.

⁡(3sinx+x2cos⁡(1/x))/((1+cosx)ln⁡(1+x))=________.

(+-2)/x2=__________.

设函数f:R→R满足：(1) f(1)=1,(2) f'(x)=1/(x2+[f(x)]2),∀x≥1.证明：f(x)存在且小于1+π/4.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

考研两个重要极限

两个重要极限

(1/√x)tanx =__________.

求(sin⁡(2/x)+cos(1/x))x

cotx(1/sinx-1/x)=________.

⁡xcot2x=__________.

求f(x)=的表达式，并作函数f(x)图像。

证明：[x3]+x2=[x2]+x3存在一个非整数解，其中[x]表示不大于x的最大整数.

(e2x-1-ln⁡(2+x))/x=【】

东北财经大学两个重要极限

sin(x2-1)/(x-1)=__________。

计算(1+xex)1/x

函数与极限

f(x)=|xsinx| ecosx,-∞<x<+∞是【】

设函数f(x)=，则函数f[f(x)]=__________.

设 f(x) 是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则【】

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】

在平面直角坐标系中，椭圆x2+xy+y2=1的长轴方程为__________，位于x轴上半平面内的焦点坐标为__________.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

设a1=1,an=sinan-1 (n≥2)，证明：an≥(n≥2).

x∙cos(1/x)= 【】

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。