大学数学-竞赛试题(莫斯科经济统计学院 1975年两个重要极限)

问答题（1975年莫斯科经济统计学院）

求f(x)= 两个重要极限.png 的表达式，并作函数f(x)图像。

答案解析

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讨论

函数极限

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

求极限(exsinx-x(1+x))/x³=______.

求(lnn-[lnn])=______.

求极限[1/ln⁡(1+x) -1/ln⁡(x+√(1+x²)) ]

求极限1/x |sint|dt

求极限：[1/e (1+1/x)x ]x

cotx(1/sinx-1/x)=________.

两个重要极限

(1+3x)2/sinx=__________.

⁡xcot2x=__________.

求(2sinx+cosx)1/x

设[(x+2a)/(x-a)]x=8，则a=________.

(+-2)/x2=__________.

(1/x2 -1/xtanx)=______.

求极限sin4x/(-1)

求极限(x-xx)/(1-x+lnx)

求极限(cos⁡(tanx)-cosx)/(x3sinx).

证明：[x3]+x2=[x2]+x3存在一个非整数解，其中[x]表示不大于x的最大整数.

函数与极限

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.

设数列{xn}满足xmn≤xm+xn,xn>0，证明：存在.

若f:Rn→Rm是一个C1类映射，且满足xf'=0，证明：f为常值映射.