大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2024年两个重要极限)

填空题（2024年理工数学Ⅰ）

若((1+ax²)^sinx-1)/x³=6，则a=______.

答案解析

6

【解析】

解答过程见word版

讨论

函数极限

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

设函数f:R→R满足：(1) f(1)=1,(2) f'(x)=1/(x2+[f(x)]2),∀x≥1.证明：f(x)存在且小于1+π/4.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

求f(x)=的表达式，并作函数f(x)图像。

东北财经大学两个重要极限

sin(x2-1)/(x-1)=__________。

x∙cos(1/x)= 【】

按极限定义（ε-δ）证明：=1/4.

两个重要极限

求(cos√x)π/x

求⁡(ex-sinx-1)/(1-).

求(sin⁡(2/x)+cos(1/x))x

cotx(1/sinx-1/x)=________.

求(2sinx+cosx)1/x

求极限sin4x/(-1)

求极限(x-xx)/(1-x+lnx)

设a为非零常数，则((x+a)/(x-a))x =________.

(1/√x)tanx =__________.

(1+3x)2/sinx=__________.

函数与极限

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

由下面哪个条件能够判断{xn}收敛【】

对有界数列{xn}，下面哪个说法可作为xn=L的定义【】（此题不全，待更新）

设f(x)=sin⁡(a1 x)+sin⁡(a2 x)+sin⁡(a3 x),a1,a2,a3>0.证明：存在数列{tn}使得tn=+∞且f(x+tn)=f(x)对∀x∈R一致成立.

(1+22√2+32∛3+⋯+n2)/n3