大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1993年两个重要极限)

计算题（1993年理工数学Ⅰ）

求(sin⁡(2/x)+cos(1/x))^x

答案解析

令t=1/x，则((sin⁡(2/x)+cos⁡(1/x))x=⁡(sin2t+cost)1/t ={[1+(sin2t+cost-1)]1/(sin2t+cost-1)}(sin2t+cost-1)...

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讨论

函数极限

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

确定常数a,b，使得极限(axcosx-bsinx)/x³ 存在，并求极限.

南京大学函数极限的性质

已知 fn(x)=求证：（1）对于任何自然数n，方程fn(x)=在区间(0,)中仅有一根；（2）设xn∈(0,)满足fn(xn)=，则.

理工数学Ⅰ函数极限存在准则

已知⁡[aarctan + ]存在，求a的值.

求y=x3/(x-1)2 cos⁡(2arctanx)的所有渐近线.

函数f(x)=xsinx

求(cos√x)π/x

设函数f:R→R满足：(1) f(1)=1,(2) f'(x)=1/(x2+[f(x)]2),∀x≥1.证明：f(x)存在且小于1+π/4.

两个重要极限

求⁡(ex-sinx-1)/(1-).

(xk-1)/(xλx-1)，其中k是正整数，λ≠0是常数.

计算(2-x-2cosx)/(xex-ln⁡(1+x))

求极限(x-xx)/(1-x+lnx)

求极限(cos⁡(tanx)-cosx)/(x3sinx).

吉林大学两个重要极限

考研两个重要极限

求f(x)=的表达式，并作函数f(x)图像。

证明：[x3]+x2=[x2]+x3存在一个非整数解，其中[x]表示不大于x的最大整数.

(e2x-1-ln⁡(2+x))/x=【】

函数与极限

设xn=(1+1/n2 )(1+2/n2 )…(1+n/n2 )，求xn.

设a1=1,an=sinan-1 (n≥2)，证明：an≥(n≥2).

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。

能否用迭代法求下列方程，如不能，将方程改写为能用迭代法求解的形式.x=4-αx.

若z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f(z).

重庆大学数列极限

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

证明不等式1/< - <1/ n=1,2,…

设xn=1+1/√3+1/√5+⋯+1/ - ，证明xn 存在.