大学数学-竞赛试题(浙江省 2021年数列极限)

计算题（2021年浙江省）

设x_n=(1+1/n² )(1+2/n² )…(1+n/n² )，求x_n.

答案解析

两边取对数，有：lnxn=ln⁡(1+k/n2 ).不妨记f(x)=ln⁡(1+x)，则有f(0)=0，从而由导数定义可知：f' (0)=⁡(f(x)-f(0))/x=(f(k/n2 )-f(0))/(k/n2 ),所以当n→∞时，由极限与无穷...

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讨论

导数概念

设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

函数，在 x=0处【】

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】

设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处【】

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是【】

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(x)=0是F(x)在x=0处可导的【】

无穷小与无穷大

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

考研无穷小与无穷大

设a≠，则ln= .

当x→0时，(-1)dt是x7的【】

当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+ln⁡(1+x)与g(x)=ex^2 -cosx是等价无穷小，则ab=______.

已知{xn },{yn}满足x1=yn=1/2,xn+1=sinxn,yn+1=yn2 (n=1,2,⋯) ，则当n→∞时【】

当x→0时，α(x),β(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题①若α(x)~β(x)，则α2 (x)~β2 (x)②若α2 (x)~β2 (x)，则α(x)~β(x)③若α(x)~β(x)，则α(x)-β(x)=o(α(x))④若α(x)-β(x)=o(α(x))，则α(x)~β(x)其中所有真命题的序号是【】

设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=(x2-t2) f(t)dt，且当x→0时，F'(x)与xk是同阶无穷小，则k等于【】

已知当x→0时，(1+ax2)1/3-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=__________.

浙江省数列极限存在准则

数列极限

已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

已知α>0，求极限.

已知an=a≠0，试用ε-N语言证明：1/an =1/a.

证明数列{sinn}发散.

设数列{xn}满足1/xn+1 +lnxn<1，证明：xn存在，并求之.(已知：1/x+lnx≥1)

求极限(1+++⋯+)/n.

求极限nxnexdx.

求证：((cosx)ndx)1/n =1

求证：(n/3-k2/n2 )=-1/2.