已知函数f(x)在[a,b]上可积，且
f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：
g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：
f(x)g(x,h)dx=A
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证明题（2022年华中科技大学）
答案解析
由已知：A=A∙g(x,h) dx,故只需证明：(f(x)-A)g(x,h) dx=0即可.|(f(x)-A)g(x,h) dx|≤|(f(x)-A)g(x,h) dx|+|(f(x)-A)g(x,h) dx|≤|f(x)-A|g(x,h) dx+|f(x)-A|g(x,h) dx令c-a<h，则当h→0+时，c→a+，∵f(x)=A∴对∀ε>0,∃δ1>0，当0<x-a<h<δ1时，|f(x)-A|<ε.又g(x,h) dx<g(x,h) dx，且g(x,h) dx=1，由极限保号性知，对上述ε,∃δ2，当0<h<δ2时，有g(x,h) dx<3/2取δ_3=min{δ1,δ2...
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