大学数学-考研试题(中国科学技术大学 2022年函数极限存在准则)

证明题（2022年中国科学技术大学）

设函数f:R→R满足：

(1) f(1)=1,

(2) f'(x)=1/(x²+[f(x)]²),∀x≥1.

证明： lim x->+∞ f(x)存在且小于1+π/4.

答案解析

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讨论

函数极限

证明：[x3]+x2=[x2]+x3存在一个非整数解，其中[x]表示不大于x的最大整数.

求y=x3/(x-1)2 cos⁡(2arctanx)的所有渐近线.

(e2x-1-ln⁡(2+x))/x=【】

东北财经大学两个重要极限

sin(x2-1)/(x-1)=__________。

计算(1+xex)1/x

求极限⁡( - ).

按极限定义（ε-δ）证明：=1/4.

求(1/x-1/(ex-1)).

设a为非零常数，则((x+a)/(x-a))x =________.

函数与极限

当x→0时，(-1)dt是x7的【】

已知当x→0时，(1+ax2)1/3-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=__________.

求(cos√x)π/x

求⁡(ex-sinx-1)/(1-).

(1/√x)tanx =__________.

⁡xcot2x=__________.

设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=(x2-t2) f(t)dt，且当x→0时，F'(x)与xk是同阶无穷小，则k等于【】

已知((x+a)/(x-a))x =9，求常数a.

⁡(3sinx+x2cos⁡(1/x))/((1+cosx)ln⁡(1+x))=________.

(+-2)/x2=__________.

函数极限存在准则

已知 fn(x)=求证：（1）对于任何自然数n，方程fn(x)=在区间(0,)中仅有一根；（2）设xn∈(0,)满足fn(xn)=，则.

理工数学Ⅰ函数极限存在准则

已知⁡[aarctan + ]存在，求a的值.

x∙cos(1/x)= 【】

当x→1时，函数(x2-1)/(x-1) e1/(x-1)的极限【】

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

确定常数a,b，使得极限(axcosx-bsinx)/x³ 存在，并求极限.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】