大学数学-考研试题(经济数学Ⅲ 2024年无穷小与无穷大)

填空题（2024年经济数学Ⅲ）

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与x^k是等阶无穷小，则k=______.

答案解析

3

【解析】

解答过程见word版

讨论

变限积分

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

设函数f(x)=ecostdt,g(x)=et² dt，则【】

5/(x4+3x2-4)dx__________.

设x≥-1，求(1-|t|)dt.

设，求dy/dx,(d2y)/(dx2)在t=的值.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

设f(x)连续，则d/dx tf(x2-t2)dt等于【】

设f(x)=sint2dt,g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的【】

函数F(x)=(2-1/√t) dt(x>0)的单调减少区间为__________.

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

无穷小与无穷大

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

当x→0时，α(x),β(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题①若α(x)~β(x)，则α2 (x)~β2 (x)②若α2 (x)~β2 (x)，则α(x)~β(x)③若α(x)~β(x)，则α(x)-β(x)=o(α(x))④若α(x)-β(x)=o(α(x))，则α(x)~β(x)其中所有真命题的序号是【】

当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+ln⁡(1+x)与g(x)=ex^2 -cosx是等价无穷小，则ab=______.

已知{xn },{yn}满足x1=yn=1/2,xn+1=sinxn,yn+1=yn2 (n=1,2,⋯) ，则当n→∞时【】

设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=(x2-t2) f(t)dt，且当x→0时，F'(x)与xk是同阶无穷小，则k等于【】

已知当x→0时，(1+ax2)1/3-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=__________.

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

设a≠，则ln= .

当x→0时，(-1)dt是x7的【】

考研无穷小与无穷大

函数与极限

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】