大学数学-考研试题(西安交通大学 2024年数列极限存在准则)

证明题（2024年西安交通大学）

设数列{x_n}满足x_mn≤x_m+x_n,x_n>0，证明：存在.

答案解析

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讨论

数列极限存在准则

设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则=__________。

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

设xn=1+1/√3+1/√5+⋯+1/ - ，证明xn 存在.

设x1=10,xn+1=(n=1,2,⋯)，试证数列{xn}的极限存在，并求此极限.

设-π/2≤xn≤π/2，则【】

对有界数列{xn}，下面哪个说法可作为xn=L的定义【】（此题不全，待更新）

设f(x)=sin⁡(a1 x)+sin⁡(a2 x)+sin⁡(a3 x),a1,a2,a3>0.证明：存在数列{tn}使得tn=+∞且f(x+tn)=f(x)对∀x∈R一致成立.

设数列{xn}为x1=1，xn+1= (n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

设数列{xn}为x1=，x2=，xn+2=(n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

莫斯科电子技术学院数列极限存在准则

数列极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

莫斯科财政金融学院数列极限

在一个虚拟的世界中，每个居民（设想为没有大小的几何点）依次编号为1,2,⋯.为了抗击某种疫情，这些居民要接种某疫苗，并在注射后在现场留观一段时间。现在假设留观的场所是平面上的一个半径为1/4的圆周。为了安全,要求第m号居民和第n居民之间的距离dm,n满足(m+n)dm,n≥1这里我们考虑的是圆周上的距离，也就是两点间劣弧的弧长。那么1.选择题(4分)下列选项（）符合实际情况。A 这个留观室最多能容纳8个居民B 这个留观室能容纳的居民个数有大于8的上限:C 这个留观室可以容纳任意多个居民。2.证明题(6分)证明你的论断。

设xn=(1+1/n2 )(1+2/n2 )…(1+n/n2 )，求xn.

重庆大学数列极限

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

证明不等式1/< - <1/ n=1,2,…

设0<a<1，求极限(a+2a2+3a3+⋯+nan).

((n-2)/(n+1))n=________.

函数与极限

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.