大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2025年抽样分布)

单项选择（2025年理工数学Ⅰ）

设X₁,X₂,⋯,X₂₀是来自总体B(1,0,1)的简单随机样本，令T=∑_i=1²⁰X_i ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得P{T≤1}≈【】

A、1/e²

B、2/e²

C、3/e²

D、4/e²

答案解析

C

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(0,0;1,1,ρ)，其中ρ∈(-1,1)，若a,b为满足a²+b²=1的任意实数，则D(aX+bY)的最大值为【】

设n阶矩阵A,B,C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n，给出下列四个结论：①r(ABC)+n=r(AB)+r(C);② r(AB)+n=r(A)+r(B);③ r(A)=r(B)=r(C)=n;④r(AB)=r(BC)=n，其中正确的选项是【】

设α1,α2,α3,α4是n维向量，α1,α2线性无关，α1,α2,α3线性相关，且α1+α2+α4=0，在空间直角坐标系O-xyz中，关于x,y,z的方程组xα1+yα2+zα3=α4的几何图形是【】

二次型f(x1,x2,x3 )=x1²+2x1 x2+2x2 x3的正惯性指数为【】

设函数f(x,y)连续，则dy=【】

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可导，则【】

已知级数①sin⁡(n³ π)/(n²+1) ，②(-1)n(1/∛n² -tan⁡1/∛n²) ，则【】

已知函数f(x)=et²sintdt,g(x)=et²dt∙sin²⁡x，则【】

对于实数T>0，称欧氏平面R²的子集Γ为T-稠密的,如果对任意v∈R²,存在w∈Γ满足‖v-w‖≤T.设2阶整方阵A∈M2 (Z)满足det⁡(A)≠0.(1)假设tr(A)=0.证明存在C>0,使得对任意正整数n,集合A^n Z²≔{An v:v∈Z² }是C|de t⁡(A) |n/2-稠密的.(2)假设A的特征多项式在有理数域上不可约.证明与(1)相同的结论.注:这里R²和Z²中的向量约定为列向量，R²中的内积为标准内积，即〈v,w〉=vt w.(提示:在对(2)的证明中,可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形：R²中以原点为中心且面积为4的任意闭平行四边形中总包含Z²中的非零向量.)

小明玩战机游戏. 初始积分为2. 在游戏进行中，积分会随着时间线性地连续减少（速率为每单位时间段扣除1）。游戏开始后，每隔一个随机时间段（时长为互相独立的参数为1的指数分布)，就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时，小明立即进行操作，可以瞬间击落对方，或者瞬间被对方击落。如被敌机击落，则游戏结束。如小明击落敌机，则会获得1.5个积分，并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏，或者继续游戏。如选择继续游戏，则须等待到下一架敌机出现，中途不能主动退出。游戏的难度不断递增：出现的第n架敌机，小明击落对方的概率为(0.85)n，被击落的概率为1-(0.85)n，且与之前的事件独立。在任何时刻，如果积分降到0，则游戏自动结束。问题部分：(1) 如果游戏中，小明被击落后，其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化，小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2) 假设游戏中，小明被击落后，其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到0)，下列哪一个选项最接近游戏结束时小明的期望积分?(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

样本及抽样分布

设X1,X2,⋯,X100为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=1/2,Φ(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P{Xi≤55}的近似值为【】

设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1,X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3=0}=P{X3=1}=1/2,Y=X3 X1+(1-X3 ) X2(1)求二维随机变量(X1,Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ(x)表示；(2)证明随机变量Y服从标准正态分布.

设随机变量X,Y相互独立，且X服从正态分布N(0,2),Y服从正态分布N(-2,2)，若P{2X+Y<a}=P{X>Y}，则a=【】

设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z=|X-Y|，则下列随机变量与Z同分布的是【】

随机变量X,Y相互独立，其X~N(0,2),Y~N(-1,1)，记p1={2X>Y},p2={X-2Y>1}，则【】

投保人的损失事件发生时,保险公司的赔付额Y与投保人的损失额X的关系为Y=设损失事件发生时，投保人的损失额X的概率密度为f(x)=(1)求P{Y>0}及E(Y).(2)这种损失事件在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M，假设N服从参数为8的泊松分布，在N=n(n≥1)的条件下，M服从二项分布B(n,P)，其中P=P{Y>0},求M的概率分布.

设随机变量X~U(0,3)，随机变量Y服从参数为2的泊松分布，且X与Y的协方差为-1，则D(2X-Y+1)=【】

设X1,X2,⋯,Xn为来自总体N(μ1,σ2)的简单随机样本，Y1,Y2,⋯,Ym为来自总体N(μ2,2σ2)的简单随机样本，且两样本相互独立，记X ̅=1/n Xi ,Y ̅=1/m Yi ,S12=1/(n-1) (Xi-X ̅ )2 ,S22=1/(m-1) (Yi-Y ̅ )2 ，则【】

设某产品寿命服从正态分布即Z ~ N(10,22)分布，试求任取5件中恰有2件寿命超过产品期望寿命的概率。

若随机变量X服从参数λ=1的指数分布，则P(-2<x<2)=__________。

抽样分布

从正态总体N(3.4,62)抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？附表：标准正态分布表Φ(z)= dt.z 1.28 1.645 1.96 2.33Φ(z) 0.900 0.950 0.975 0.990

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,n= (∂f/∂x,∂f/∂y,-1)|(0,0)，非零向量r与n垂直，则【】

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】

若矩阵A经初等变换化成B，则【】

已知直线L1:(x-a2)/a1 =(y-b2)/b1 =(2-c2)/c1 与直线L2:(x-a3)/a2 =(y-b3)/b2 =(2-c3)/c2 相交与一点，法向量αi=,i=1,2,3，则【】

设A,B,C为三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/12，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为【】

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

设，则d²y/dx²|t=1=________.