大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2025年二次型及其标准形)

单项选择（2025年理工数学Ⅰ）

二次型f(x₁,x₂,x₃ )=x₁²+2x₁ x₂+2x₂ x₃的正惯性指数为【】

A、0

B、1

C、2

D、3

答案解析

B

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

设函数f(x,y)连续，则dy=【】

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可导，则【】

已知级数①sin⁡(n³ π)/(n²+1) ，②(-1)n(1/∛n² -tan⁡1/∛n²) ，则【】

已知函数f(x)=et²sintdt,g(x)=et²dt∙sin²⁡x，则【】

对于实数T>0，称欧氏平面R²的子集Γ为T-稠密的,如果对任意v∈R²,存在w∈Γ满足‖v-w‖≤T.设2阶整方阵A∈M2 (Z)满足det⁡(A)≠0.(1)假设tr(A)=0.证明存在C>0,使得对任意正整数n,集合A^n Z²≔{An v:v∈Z² }是C|de t⁡(A) |n/2-稠密的.(2)假设A的特征多项式在有理数域上不可约.证明与(1)相同的结论.注:这里R²和Z²中的向量约定为列向量，R²中的内积为标准内积，即〈v,w〉=vt w.(提示:在对(2)的证明中,可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形：R²中以原点为中心且面积为4的任意闭平行四边形中总包含Z²中的非零向量.)

小明玩战机游戏. 初始积分为2. 在游戏进行中，积分会随着时间线性地连续减少（速率为每单位时间段扣除1）。游戏开始后，每隔一个随机时间段（时长为互相独立的参数为1的指数分布)，就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时，小明立即进行操作，可以瞬间击落对方，或者瞬间被对方击落。如被敌机击落，则游戏结束。如小明击落敌机，则会获得1.5个积分，并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏，或者继续游戏。如选择继续游戏，则须等待到下一架敌机出现，中途不能主动退出。游戏的难度不断递增：出现的第n架敌机，小明击落对方的概率为(0.85)n，被击落的概率为1-(0.85)n，且与之前的事件独立。在任何时刻，如果积分降到0，则游戏自动结束。问题部分：(1) 如果游戏中，小明被击落后，其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化，小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2) 假设游戏中，小明被击落后，其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到0)，下列哪一个选项最接近游戏结束时小明的期望积分?(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

几位同学假期组成一个小组去某市旅游. 该市有6座塔，它们的位置分別为A、B、C、D、E、F. 同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现，自己在所在的位置只能看到位于A、B、C、D处的四座塔，而看不到位于E和F的塔，已知：(1)同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合；(2)A、B、C、D、E、F 中任意3点不共线；(3)看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡，例如，如果某位同学所在的位置P和A、B共线，且A在线段PB上，那么该同学就看不到位于B处的塔.请问，这个旅游小组最多可能有多少名同学？

设函数f(x)连续可导，且f(0)=1,0<f'(x)<1/2.设{xn}满足：xn+1=f(n),(n=1,2,⋯)，证明：(1)级数(xn+1-xn)绝对收敛.(2)xn存在，且0<xn <2.

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可微，且满足条件：0≤f(x)≤x/(1+x²)(0≤x<+∞)求证：存在ξ>0，使得f'(ξ)=(1-ξ²)/(1+ξ²)².

证明：函数项级数(-1)n/(x²+n)在区间x∈(-∞,+∞)上一致收敛.

二次型及其标准形

设二次型f(x1,x2,x3 )=xT Ax在正交变换下可化成y1²-2y2²+3y3²，则二次型f的矩阵A的行列式值与迹分别为【】

已知矩阵A=的特征值λ对应的特征向量α=，求该矩阵的若当(Jordan)标准型.

设复二次型f(x1,x2,x3 )=2x1²+x2²-4x1 x2-4x2 x3求非退化线性变换X=CY，将二次型f(x1,x2,x3 )化为规范形，其中X=(x1,x2,x3 )T,Y=(y1,y2,y3 )T，并写出规范形.

设实矩阵A=(1)求A的若尔当标准形J.(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=J.

设n元实二次型f(x1,x2,⋯,xn )=l1²+⋯+ls²-ls+1²-ls+t²，其中li=ai1 x1+ai2 x2+⋯+ain xn,aij∈R,i=1,2,⋯,s+t,j=1,2,⋯,n.证明：f(x1,x2,⋯,xn )的正惯性指数p≤s.

已知二次型f(x1,x2,x3 )=ijxixj.(1)求二次型矩阵.(2)求正交矩阵Q，使得二次型经正交变换x=Qy化为标准形.(3)求f(x1,x2,x3)=0的解.

已知二次型f(x1,x2,x3 )=3x12+4x22+3x32+2x1 x3，(1)求正交变换x=Qy将f(x1,x2,x3)化为标准形；(2)证明minx≠0⁡f(x)/(xT x)=2.

二次型f(x1,x2,x3 )=(x1+x2 )2+(x1+x3 )2-4(x2-x3 )2的规范型为【】

求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1 x2+4x1 x3-8x2 x3成标准形.

已知二次型f(x1,x2,x3 )=2x12+3x22++3x32+2ax2 x3 (a>0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32，求参数a及所用的正交变换矩阵.

二次型

已知二次型f(x1,x2,x3 )=5x12+5x22+cx32-2x1 x2+6x1 x3-6x2 x3的秩为2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程f(x1,x2,x3 )=1表示何种二次曲面.

已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4，可以经过正交变换=P化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a,b的值和正交矩阵P.

二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【】

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,n= (∂f/∂x,∂f/∂y,-1)|(0,0)，非零向量r与n垂直，则【】

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】

若矩阵A经初等变换化成B，则【】

已知直线L1:(x-a2)/a1 =(y-b2)/b1 =(2-c2)/c1 与直线L2:(x-a3)/a2 =(y-b3)/b2 =(2-c3)/c2 相交与一点，法向量αi=,i=1,2,3，则【】

设A,B,C为三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/12，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为【】