大学数学-考研试题(北京邮电大学 2024年函数极限存在准则)

证明题（2024年北京邮电大学）

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可微，且满足条件：

0≤f(x)≤x/(1+x²)(0≤x<+∞)

求证：存在ξ>0，使得f'(ξ)=(1-ξ²)/(1+ξ²)².

答案解析

解答过程见word版

讨论

微分中值定理

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

设函数f:[0,1]→R是连续的且在(0,1)上可微，若f满足：(1) f(0)=0；(2)存在常数M>0使得|f'(x)|≤M|f(x)|对任意x∈(0,1)成立.证明：在[0,1]上f(x)=0.

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微，对[0,1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f'(x)≠1，证明：在(0,1)内有且仅有一个x，使得f(x)=x.

证明方程lnx=x/e-dx在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b).证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f' (ξ)>0.

已知f''(x)<0,f(0)=0，证明对任何x1>0,x2>0，恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.

设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)≥k>0,f(0)<0，证明：f(x)在(0,+∞)有且仅有一个零点.

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g'' (x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)，试证：(1)在开区间(a,b)内对任意x有g(x)≠0；(2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)/g(ξ) =f'' (ξ)/g'' (x).

设f:[0,1]→[0,1]是一个连续函数，证明：方程2x-f(t)dt=1在[0,1]中有且仅有一个零点.

求证不等式：(eb - ea)/(b-a)<(eb + ea)/2 (a≠b).

函数极限

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

求极限(exsinx-x(1+x))/x³=______.

求(lnn-[lnn])=______.

求极限[1/ln⁡(1+x) -1/ln⁡(x+√(1+x²)) ]

求极限1/x |sint|dt

求极限：[1/e (1+1/x)x ]x

求极限⁡(-cotx/e-2x +1/e-xsin²⁡x -1/x²)

函数极限存在准则

设函数f:R→R满足：(1) f(1)=1,(2) f'(x)=1/(x2+[f(x)]2),∀x≥1.证明：f(x)存在且小于1+π/4.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

理工数学Ⅰ函数极限存在准则

已知⁡[aarctan + ]存在，求a的值.

x∙cos(1/x)= 【】

确定常数a,b，使得极限(axcosx-bsinx)/x³ 存在，并求极限.

已知 fn(x)=求证：（1）对于任何自然数n，方程fn(x)=在区间(0,)中仅有一根；（2）设xn∈(0,)满足fn(xn)=，则.

当x→1时，函数(x2-1)/(x-1) e1/(x-1)的极限【】

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

北京邮电大学泰勒公式