大学数学-考研试题(北京邮电大学 2024年函数项级数的一致收敛性)

证明题（2024年北京邮电大学）

证明：函数项级数(-1)ⁿ/(x²+n)在区间x∈(-∞,+∞)上一致收敛.

答案解析

解答过程见word版

讨论

大学数学

讨论：当α>0时，函数f(x)=xα在区间[0,+∞)上的一致连续性.

设有界区域Ω由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，Σ为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分：I=∬Σ(x²+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy

已知L是第一象限中点从点(0,0)沿圆周x²+y²-2x=0到点(2,0)，再沿圆周x²+y²=4到点(0,2)的曲线段，计算I=∫L3x²ydydx+(x³+x-2y)dy

求圆锥体z≥与球体x²+y²+(z-1)²≤1所围立体的体积.

北京邮电大学反常积分的审敛法

当x→0时，xe-x/2与αxn是等价无穷小，求α和n.

讨论方程(lnx)²-2lnx+2x+k=0的实根的个数，其中k是常数.

证明：若an>0,an/an+1 =l>1，则an=0.

求二元函数f(x,y)=x²(2+y²)+ylny的极值.

求幂级数(-1)n-1/(2n-1) x2n的收敛域及和函数.

函数项级数的一致收敛性

证明：当x>0时，ln√x=1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1 ，并讨论1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1关于x∈(0,+∞)是否一致收敛.

设非负函数f(x)在[0,+∞)上连续，给出以下三个命题：①若f² (x)收敛，则f(x)收敛.②若存在p>1，使得xp f(x)存在，则f(x)收敛.③若f(x)收敛，则存在p>1，使得xp f(x)存在.其中真命题个数为【】

设函数f1 (x)在[0,1]上连续，K(x,y)在[0,1]×[0,1]上连续，对任意x∈[0,1]，定义fn+1(x)=K(x,y) fn (y)dy,n=1,2,⋯证明：函数列{fn (x)}在[0,1]上一致收敛于0.

如果函数列{fn(x)}在区间(a,c]和[c,b)上一致收敛，那么{fn(x)}在(a,b)上一致收敛.

讨论级数(-1)n/(1+x²)n 在(-∞,+∞)上的收敛性和一致收敛性.

设{fn(x)}是区间[a,b]上一致收敛于f的可积函数列，证明：f在[a,b]上可积，且f(x)dx=fn(x) dx.

已知含参变量积分F(x)=sin⁡(xy)/(ln⁡(lny)) dy，证明：(1) F(x)在[δ,+∞)上关于x一致收敛（δ>0）(2) F(x)在(0,+∞)上关于x不一致收敛.

已知{un(x)}是可微函数列，且un(x)在[a,b]上一致有界，证明：若un(x)收敛，则un(x)必定一致收敛.

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

无穷级数

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】

设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

已知幂级数anxn的和函数为ln⁡(2+x)，则na2n =【】

已知函数f(x)=x+1，若f(x)=a0/2+ancosnx,x∈[0,π]，则n²sina2n-1 =______.

求级数sinnx/n!=________.

设级数an 绝对收敛，bn 收敛，且an =A,bn =B，令cn=a1bn+a2bn-1+⋯+an b1=akbn-k+1，则cn =AB.

设f(n)=a0+ak/nk ，且满足|a_k |≤M，这里n,k均为正整数，试证：数项级数f(n)收敛的充要条件为a0=a1=0.

若级数un² 和vn² 都收敛，则级数(un+vn )² 也收敛.

求幂级数xn/(n(n+1))的和函数，并指出其定义域.