大学数学-考研试题(北京邮电大学 2024年闭区间上的连续函数)

问答题（2024年北京邮电大学）

讨论：当α>0时，函数f(x)=x^α在区间[0,+∞)上的一致连续性.

答案解析

解答过程见word版

讨论

连续函数

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

若f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界.

设f是定义在[a,b]上的函数，且G={(x,f(x))|x∈[a,b]}是R2上的有界闭集，证明：f是[a,b]上的连续函数.

设函数f在[0,1]上连续，定义g(t)=(tf(x))/(x²+t²) dx,t∈R证明：函数g在点0处连续当且仅当f(0)=0.

设函数f(x)在I上有定义，令ωf(δ)=|f(x)-f(y)|证明：(1)ωf(δ)存在.(2) f(x)在区间I上一致连续等价于ωf(δ)=0.

证明：f(x)=tx-1 e-t lntdt 在(0,+∞)上连续.

设f(x)在x=0处连续，且对任意的x∈R，有f(x)=f(3x)，证明：f(x)是常值函数.

函数与极限

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.

求极限(exsinx-x(1+x))/x³=______.

求(lnn-[lnn])=______.

闭区间上的连续函数

给定x0>0以及[0,+∞)上连续函数f(x)，证明：至多具有一个定义于[0,+∞)上的连续函数y(x)满足对任意的x>0，有dy/dx=-y³+f(x)，其中y(0)=y0.

设函数f(x)在(0,1)上有定义，且函数exf(x)与函数e-f(x)在(0,1)上都是单调递增的，求证：f(x)在(0,1)上连续.

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

(1)叙述函数f(x)在区间I一致连续的定义；(2)用肯定语言叙述函数f(x)在区间I不一致连续的定义；(3)设f(x)=sin 1/x,a>0为任一常数，证明：函数f(x)在区间[a,+∞)上一致连续，但在区间(a,+∞)上不一致连续。

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(1)证明：f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值（选最小值证明）；(2)进一步，还假设f(x)在[a,b]上处处不为零，试用定义证明函数1/f2(x)在[a,b]上连续.

设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是__________.

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.