证明题(2024年浙江大学

设函数f在[0,1]上连续,定义

g(t)=(tf(x))/(x²+t²) dx,t∈R

证明:函数g在点0处连续当且仅当f(0)=0.

答案解析

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讨论

假设5/11是整系数多项式f(x)的根,证明:f(√(-1))f(-√(-1))是正整数,且是146的倍数.

求线性方程组的基础解系,假设该方程组的一个解和另外一个解为k1+k2 的方程组有公共解,求出所有公共解.

设X=(x1,x2,x3,x4 ),XT是X的转置,问是否存在一次多项式ui (x)=ai x1+bi x2+ci x3+di x4 (i=1,2,3,4)满足XXT=并说明理由.

假设R是实数域,实向量空间R³中两组向量分别为α1=(-1,1,0),α2=(2,-1,2),α3=(0,1,b)和β1=(1,0,-1),β2=(-1,1,1),β3=(1,1,c).(1)当b,c取何值时,不存在R³上的线性变换F,满F(αi )=βi,i=1,2,3.(2)当b,c取何值时,至少存在两个R³上的线性变换F,满足F(αi )=βi,i=1,2,3.(3)当b,c取何值时,存在R³上的唯一线性变换F,满足F(αi )=βi,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗?为什么?

假设A是2024阶方阵,主对角线上全是偶数,其余的都是奇数.证明:该矩阵为可逆矩阵.

求f(x)=x4+2x³-x²-4x-2,g(x)=x4+x³-x²-2x-2的最大公因式d(x)以及多项式u(x),v(x),满足d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

已知矩阵A=的特征值λ对应的特征向量α=,求该矩阵的若当(Jordan)标准型.

设A是n阶非零矩阵,S是使得λA与λ相似的复数λ的集合,证明S是一个有限集.

设α,β,γ 是有理数域上线性空间V中的向量,其中α≠0,假如存在V上的线性变换Γ,使得Γα=β,Γβ=α,Γγ=α-β.证明:α,β,γ在V中线性无关.

已知A,B,C是有限维线性空间上的三个线性变换,证明:A+B-ACB和A+B-BCA在该空间是同构的.