大学数学-考研试题(浙江大学 2024年向量的内积与正交变换)

问答题（2024年浙江大学）

假设R是实数域，实向量空间R³中两组向量分别为α₁=(-1,1,0),α₂=(2,-1,2),α₃=(0,1,b)和β₁=(1,0,-1),β₂=(-1,1,1),β₃=(1,1,c).

(1)当b,c取何值时，不存在R³上的线性变换F，满F(α_i )=β_i,i=1,2,3.

(2)当b,c取何值时，至少存在两个R³上的线性变换F，满足F(α_i )=β_i,i=1,2,3.

(3)当b,c取何值时，存在R³上的唯一线性变换F，满足F(α_i )=β_i,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗？为什么？

答案解析

暂无答案

讨论

大学数学

设X=(x1,x2,x3,x4 ),XT是X的转置，问是否存在一次多项式ui (x)=ai x1+bi x2+ci x3+di x4 (i=1,2,3,4)满足XXT=并说明理由.

求线性方程组的基础解系，假设该方程组的一个解和另外一个解为k1+k2 的方程组有公共解，求出所有公共解.

假设5/11是整系数多项式f(x)的根，证明：f(√(-1))f(-√(-1))是正整数，且是146的倍数.

证明：1/T sinatcosbt/t dt=

西安交通大学

若f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界.

若f:Rn→Rm是一个C1类映射，且满足xf'=0，证明：f为常值映射.

设级数an 绝对收敛，bn 收敛，且an =A,bn =B，令cn=a1bn+a2bn-1+⋯+an b1=akbn-k+1，则cn =AB.

证明：(f(x0+h)-f(x0-k))/(k+h)存在的充要条件为f在x0处可导.

设数列{xn}满足xmn≤xm+xn,xn>0，证明：存在.

特征值与正交计算

设A，B为2阶矩阵，且AB = BA，则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的【】

设A是n阶非零矩阵，S是使得λA与λ相似的复数λ的集合，证明S是一个有限集.

下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是【】

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

任意置换方阵可复相似于对角阵。

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).

若A=相似于对角阵，则a与b的关系为________.

已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

令n为正整数。对任一正整数k，记0k=为k×k的零矩阵。令Y=为一个(2n+1)×(2n+1)矩阵，其中A=(xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n+1是一个n×(n+1)实矩阵且At记A的转置矩阵，即(n+1)×n的矩阵，(j,i)处元素为xi,j.(i)证明题（10分）称复数λ为k×k矩阵X的一个特征值，如果存在非零列向量v=(x1,…,xk)t使得Xv=λv.证明：0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±，其中非负实数λ是AAt的特征值。(ii)证明题（15分）令n=3且a1,a2,a3,a4是4个互不相等的正实数。记a=以及xi,j=ai δi,j+aj δ4,j-1/a2 (ai2+a42)aj(1≤i≤3,1≤j≤4)，其中δi,j= .证明：Y有7个互不相等的特征值。

向量的内积与正交变换

假设A是2024阶方阵，主对角线上全是偶数，其余的都是奇数.证明：该矩阵为可逆矩阵.

求f(x)=x4+2x³-x²-4x-2,g(x)=x4+x³-x²-2x-2的最大公因式d(x)以及多项式u(x),v(x)，满足d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

已知矩阵A=的特征值λ对应的特征向量α=，求该矩阵的若当(Jordan)标准型.

设α,β,γ 是有理数域上线性空间V中的向量，其中α≠0，假如存在V上的线性变换Γ，使得Γα=β,Γβ=α,Γγ=α-β.证明：α,β,γ在V中线性无关.

已知A,B,C是有限维线性空间上的三个线性变换，证明：A+B-ACB和A+B-BCA在该空间是同构的.

假设R是实数域，实向量空间R³中两组向量分别为α1=(-1,1,0),α2=(2,-1,2),α3=(0,1,b)和β1=(1,0,-1),β2=(-1,1,1),β3=(1,1,c).(1)当b,c取何值时，不存在R³上的线性变换F，满F(αi )=βi,i=1,2,3.(2)当b,c取何值时，至少存在两个R³上的线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.(3)当b,c取何值时，存在R³上的唯一线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗？为什么？

假设R是实数域，实向量空间R³中两组向量分别为α1=(-1,1,0),α2=(2,-1,2),α3=(0,1,b)和β1=(1,0,-1),β2=(-1,1,1),β3=(1,1,c).(1)当b,c取何值时，不存在R³上的线性变换F，满F(αi )=βi,i=1,2,3.(2)当b,c取何值时，至少存在两个R³上的线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.(3)当b,c取何值时，存在R³上的唯一线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗？为什么？

假设R是实数域，实向量空间R³中两组向量分别为α1=(-1,1,0),α2=(2,-1,2),α3=(0,1,b)和β1=(1,0,-1),β2=(-1,1,1),β3=(1,1,c).(1)当b,c取何值时，不存在R³上的线性变换F，满F(αi )=βi,i=1,2,3.(2)当b,c取何值时，至少存在两个R³上的线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.(3)当b,c取何值时，存在R³上的唯一线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗？为什么？

假设R是实数域，实向量空间R³中两组向量分别为α1=(-1,1,0),α2=(2,-1,2),α3=(0,1,b)和β1=(1,0,-1),β2=(-1,1,1),β3=(1,1,c).(1)当b,c取何值时，不存在R³上的线性变换F，满F(αi )=βi,i=1,2,3.(2)当b,c取何值时，至少存在两个R³上的线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.(3)当b,c取何值时，存在R³上的唯一线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗？为什么？

假设R是实数域，实向量空间R³中两组向量分别为α1=(-1,1,0),α2=(2,-1,2),α3=(0,1,b)和β1=(1,0,-1),β2=(-1,1,1),β3=(1,1,c).(1)当b,c取何值时，不存在R³上的线性变换F，满F(αi )=βi,i=1,2,3.(2)当b,c取何值时，至少存在两个R³上的线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.(3)当b,c取何值时，存在R³上的唯一线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗？为什么？