大学数学-考研试题(上海交通大学 2012年常数项级数的概念与性质)

判断题（2012年上海交通大学）

若级数u_n² 和v_n² 都收敛，则级数(u_n+v_n )² 也收敛.

答案解析

暂无答案

讨论

大学数学

函数列{nx/(1+nx)}在(0,1)上一致收敛.

数列{n√n}(n=1,2,3,⋯)的最大项为5√5.

设{an}是一个数列，若在任一子列{ank}中均存在收敛子列{ankl}，则{an}必为收敛列.

设A为n阶复方阵，0为A的最小多项式m(λ)的r重根，r≥2为正整数.证明：(1)对任意的正整数k≥r,r(Ak )=r(Ar).(2) r(Ar )<r(Ar-1).

设A是n维欧氏空间V上的线性变换，在基α1,α2,⋯,αn下的矩阵为A.证明：A为对称变换的充要条件是AT G=GA，其中G=(αi,αj )为基α1,α2,⋯,αn的度量矩阵.

设n元实二次型f(x1,x2,⋯,xn )=l1²+⋯+ls²-ls+1²-ls+t²，其中li=ai1 x1+ai2 x2+⋯+ain xn,aij∈R,i=1,2,⋯,s+t,j=1,2,⋯,n.证明：f(x1,x2,⋯,xn )的正惯性指数p≤s.

设多项式f(x)=xp+px+p-1，其中p为奇素数，证明：f(x)在有理数域上不可约.

设实矩阵A=(1)求A的若尔当标准形J.(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=J.

设复二次型f(x1,x2,x3 )=2x1²+x2²-4x1 x2-4x2 x3求非退化线性变换X=CY，将二次型f(x1,x2,x3 )化为规范形，其中X=(x1,x2,x3 )T,Y=(y1,y2,y3 )T，并写出规范形.

设A是5×4矩阵，且r(A)=3,β为5维非零向量，已知γ1,γ2,γ3为方程AX=β的3个不同的解，且γ1+γ2=(2,2,0,2)T,γ1+γ3=(0,0,2,0)T.求AX=β的通解.

常数项级数的概念与性质

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

函数(x+2)n/(2n(n+1))的定义域是【】

解答如下问题：(1)设{an },{bn}为两个数列，且Bn=b1+b2+⋯+bn，证明：an bn=an Bn+Bk (ak-ak-1)(2)记⁡1/n kxk=A，证明：⁡1/n2 k2 xk=A/2.

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

求级数1/((n2-1)2n)的和.

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

求级数(n2+1)/n!的和.

如果函数列{fn(x)}在区间(a,c]和[c,b)上一致收敛，那么{fn(x)}在(a,b)上一致收敛.

计算 (1-x²)ndx

已知方程a1/(x-λ1 )+a2/(x-λ2 )+a3/(x-λ3 )=0其中a1,a2,a3>0,λ1<λ2<λ3.证明：此方程在区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)中各有一根.

无穷级数

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】

设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.

证明：当x>0时，ln√x=1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1 ，并讨论1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1关于x∈(0,+∞)是否一致收敛.

设非负函数f(x)在[0,+∞)上连续，给出以下三个命题：①若f² (x)收敛，则f(x)收敛.②若存在p>1，使得xp f(x)存在，则f(x)收敛.③若f(x)收敛，则存在p>1，使得xp f(x)存在.其中真命题个数为【】

已知幂级数anxn的和函数为ln⁡(2+x)，则na2n =【】

已知函数f(x)=x+1，若f(x)=a0/2+ancosnx,x∈[0,π]，则n²sina2n-1 =______.

求级数sinnx/n!=________.

设级数an 绝对收敛，bn 收敛，且an =A,bn =B，令cn=a1bn+a2bn-1+⋯+an b1=akbn-k+1，则cn =AB.

设函数f1 (x)在[0,1]上连续，K(x,y)在[0,1]×[0,1]上连续，对任意x∈[0,1]，定义fn+1(x)=K(x,y) fn (y)dy,n=1,2,⋯证明：函数列{fn (x)}在[0,1]上一致收敛于0.

设f(n)=a0+ak/nk ，且满足|a_k |≤M，这里n,k均为正整数，试证：数项级数f(n)收敛的充要条件为a0=a1=0.