大学数学-考研试题(高等代数 2024年矩阵的秩)

证明题（2024年安徽大学）

设A为n阶复方阵，0为A的最小多项式m(λ)的r重根，r≥2为正整数.证明：

(1)对任意的正整数k≥r,r(A^k )=r(A^r).

(2) r(A^r )<r(A^r-1).

答案解析

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讨论

矩阵的秩

证明：秩等于r的矩阵可以表示为r个秩等于1的矩阵之和，但不能表示为少于r个秩等于1的矩阵之和.

设A是n阶满秩矩阵，证明：存在正交矩阵P1,P2使得P1-1AP2=其中λi>0(i=1,2,⋯,n).

设A为4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若A(A-A*)=0，且A≠A*，则r(A)取值为【】

设A是秩为2的3阶矩阵，α是满足Aα=0的非零向量，若对满足βTα=0的3维向量β均有Aβ=β，则【】

设A，B都是n(n≥2)阶复方阵，则rank(AB)=rank(BA).

已知n阶矩阵A,B,C满足ABC=0，E是n阶单位矩阵，记矩阵,,的秩分别为γ1,γ2,γ3，则【】

设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足R(A* )=

设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)其中符号r(T)表示矩阵T的秩。

设A=,A11∈Cr×r,rankA11=r且rankA=rankA11，证明：(1) A22-A21 A11-1 A12=0(2) N()=R()其中N(T),R(T)分别表示T∈Cm×n的零空间与列空间，即N(T)={x|Tx=0}⊂Cn R(T)={y|y=Tx,x∈Cn}⊂Cm Cm×n表示 m×n复数矩阵空间，Cn表示复n维列向量构成的线性空间，In-r表示 (n-r)×(n-r)单位矩阵。

设矩阵A=，求P(A).

矩阵的运算

若矩阵A经初等变换化成B，则【】

设二次型f(x1,x2 )=x1²-4x1 x2+4x2²经正交变换=Q化为二次型g(y1,y2 )=ay1²+4y1 y2+by2²，其中a≥b.(1)求a,b的值；(2)求正交矩阵Q.

设A为3阶矩阵，P=，若PT AP²=，则A=【】

矩阵A=,B=，二次型f(x1,x2,x3 )=xT BAx.已知方程组Ax=0的解均是BT x=0的解，但这两个方程组不同解.(1)求a,b的值；(2)求正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为标准形.

设实矩阵A=，若对任意实向量α=,β=,(αTAβ)²≤αTAα∙βTAβ都成立，则a的取值范围是________.

设A=,B=,C=若矩阵满足AXB=C，则X=________.

设λ-矩阵A(λ)=则A(λ)的所有不变因子为__________.

证明：任一可逆的实矩阵A可以表示成A=QB，其中Q为正交矩阵，B是主对角线上元素均为正的三角形矩阵：B=,bii>0,且此表示式是惟一的。

已知矩阵：A=,B=,C= 计算：(cosα∙A+cosβ∙B+cosγ∙C)3=？其中，cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1,cosα+2cosβ+3cosγ=√3/3.提示：设E=，并引入三个矩阵：A'=A-E,B'=B-2E,C'=C-3E [注意：(cosα∙A'+cosβ∙B'+cosγ∙C')2=？]后，再作计算.

设A=,B=且A与B相似.(1)求α,β的值;(2)求可逆阵P使P-1 AP=B.

矩阵

设A为2阶矩阵，P(α,Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量(1)证明P为可逆矩阵；(2)若A²α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵.

设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.若r(2E-A)=1,r(E+A)=2，则|A* |=______.

假设A是2024阶方阵，主对角线上全是偶数，其余的都是奇数.证明：该矩阵为可逆矩阵.

设矩阵A=，则A的最小多项式为__________.

设n阶矩阵A 的各行素之和均为3，E为单位阵则阵A²-2A +E的各行元素之和为______.

设A(λ),B(λ)都是数域P上m×n的λ矩阵，则A(λ),B(λ)等价的充要条件为A(λ)与B(λ)有相同的初等因子组.

设A是n级实对称矩阵，证明rank(A)=n的充要条件是：存在实对称矩阵B使AB+B'A是正定矩阵。

设S1,S3为实对称矩阵，S2为实矩阵，则矩阵S=为正定矩阵的充要条件为矩阵S3与矩阵S1-S2 S3-1 S2'皆为正定矩阵。

设A为实对称矩阵。证明当实数t充分大之后，tI+A是正定矩阵，其中I表示单位矩阵。

设A=为n×n正定矩阵，证明：|A|≤a11 a22…ann.其中符号|∙|表示行列式.