大学数学-考研试题(上海交通大学 2012年方程求解)

证明题（2012年上海交通大学）

已知方程

a₁/(x-λ₁ )+a₂/(x-λ₂ )+a₃/(x-λ₃ )=0

其中a₁,a₂,a₃>0,λ₁<λ₂<λ₃.证明：此方程在区间(λ₁,λ₂)和(λ₂,λ₃)中各有一根.

答案解析

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讨论

大学数学

计算 (1-x²)ndx

如果函数列{fn(x)}在区间(a,c]和[c,b)上一致收敛，那么{fn(x)}在(a,b)上一致收敛.

若级数un² 和vn² 都收敛，则级数(un+vn )² 也收敛.

函数列{nx/(1+nx)}在(0,1)上一致收敛.

数列{n√n}(n=1,2,3,⋯)的最大项为5√5.

设{an}是一个数列，若在任一子列{ank}中均存在收敛子列{ankl}，则{an}必为收敛列.

设A为n阶复方阵，0为A的最小多项式m(λ)的r重根，r≥2为正整数.证明：(1)对任意的正整数k≥r,r(Ak )=r(Ar).(2) r(Ar )<r(Ar-1).

设A是n维欧氏空间V上的线性变换，在基α1,α2,⋯,αn下的矩阵为A.证明：A为对称变换的充要条件是AT G=GA，其中G=(αi,αj )为基α1,α2,⋯,αn的度量矩阵.

设n元实二次型f(x1,x2,⋯,xn )=l1²+⋯+ls²-ls+1²-ls+t²，其中li=ai1 x1+ai2 x2+⋯+ain xn,aij∈R,i=1,2,⋯,s+t,j=1,2,⋯,n.证明：f(x1,x2,⋯,xn )的正惯性指数p≤s.

设多项式f(x)=xp+px+p-1，其中p为奇素数，证明：f(x)在有理数域上不可约.

方程求解

若3a2-5b<0，则方程x5+2ax3+3bx+4c=0【】

不查表，求方程x2sin=2x-1977的近似解，精确到0.001.

求幂级数xn/(n(n+1))的和函数，并指出其定义域.

设连续可微函数z=f(x,y)由方程F(xz-y,x-yz)=0唯一确定，其中f(u,v)有连续的偏导数，L为正向单位圆周.试求：I=∮L(xz²+2yz)dy-(2xz+yz²)dx

设f(x)=(x-x0 )n φ(x)，其中n为正整数，φ(x)在x0连续且φ(x0 )≠0，讨论f(x)在x0处能否取极值？

对于正项数列{an}，如果有an+1/an=a,a>0，证明必有n√an=a.

讨论级数(-1)n/(1+x²)n 在(-∞,+∞)上的收敛性和一致收敛性.

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，过点A(0,f(0))与点B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0<c<1.证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使f'' (ξ)=0.

设函数f∈C[0,1]，记In=f(tn )dt(n≥1)证明：(1) In 存在，并且等于f(1).(2) 若f'(0)存在，则In=f(0)+1/n (f(t)-f(0))/t dt+o(1/n)

已知方程a1/(x-λ1 )+a2/(x-λ2 )+a3/(x-λ3 )=0其中a1,a2,a3>0,λ1<λ2<λ3.证明：此方程在区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)中各有一根.

中值定理与导数的应用

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

设函数f:[0,1]→R是连续的且在(0,1)上可微，若f满足：(1) f(0)=0；(2)存在常数M>0使得|f'(x)|≤M|f(x)|对任意x∈(0,1)成立.证明：在[0,1]上f(x)=0.

曲线y²=x在点(0,0)处的曲率圆方程为____________________.

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是__________.

设函数f(x)具有2阶导数，且f' (0)=f' (1),|f'' (x)|≤1，证明：(1)当x∈(0,1)时，|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|≤(x(1-x))/2;(2) |f(x) dx-(f(0)+f(1))/2|≤1/12.

某产品的价格函数为p=，（p为单价，单位：万元；Q为产量，单位：件），总成本函数为C=150+5Q+0.25Q²（万元），则经营该产品可获得的最大利润为______(万元).

设函数f(x)为(a,b)上的凸函数，即∀x1,x2∈(a,b)以及λ∈(0,1)，有f(λx1+(1-λ) x2 )≤λf(x1 )+(1-λ)f(x2)证明：(1)对∀x∈(a,b)，左右导数f-' (x),f+' (x)均存在，且f-' (x)≤f+' (x)，(2) f-' (x),f+' (x)均在(a,b)上单调递增.

曲线y=xln(e+1/(x-1))的渐近线方程为【】

设函数f(x)在[-a,a]上具有二阶连续导数，证明：(Ⅰ)若f(x)=0，则存在ξ∈(-a,a)，使得f''(ξ)=1/a² [f(a)+f(-a)]；(Ⅱ)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在η∈(-a,a)，使得|f''(η)|≥1/2a²|f(a)-f(-a)|.

曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.