大学数学-考研试题(上海交通大学 2012年数列极限存在准则)

证明题（2012年上海交通大学）

设函数f∈C[0,1]，记

I_n=f(tⁿ )dt(n≥1)

证明：

(1) I_n 存在，并且等于f(1).

(2) 若f'(0)存在，则

I_n=f(0)+1/n (f(t)-f(0))/t dt+o(1/n)

答案解析

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讨论

定积分的元素法

设{an}是一个数列，若在任一子列{ank}中均存在收敛子列{ankl}，则{an}必为收敛列.

数列{n√n}(n=1,2,3,⋯)的最大项为5√5.

函数列{nx/(1+nx)}在(0,1)上一致收敛.

若级数un² 和vn² 都收敛，则级数(un+vn )² 也收敛.

如果函数列{fn(x)}在区间(a,c]和[c,b)上一致收敛，那么{fn(x)}在(a,b)上一致收敛.

计算 (1-x²)ndx

已知方程a1/(x-λ1 )+a2/(x-λ2 )+a3/(x-λ3 )=0其中a1,a2,a3>0,λ1<λ2<λ3.证明：此方程在区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)中各有一根.

求幂级数xn/(n(n+1))的和函数，并指出其定义域.

设连续可微函数z=f(x,y)由方程F(xz-y,x-yz)=0唯一确定，其中f(u,v)有连续的偏导数，L为正向单位圆周.试求：I=∮L(xz²+2yz)dy-(2xz+yz²)dx

设f(x)=(x-x0 )n φ(x)，其中n为正整数，φ(x)在x0连续且φ(x0 )≠0，讨论f(x)在x0处能否取极值？

数列极限存在准则

设数列{xn}满足xmn≤xm+xn,xn>0，证明：存在.

设函数f,g在[0,1]上连续，且存在包含于[0,1] 的数列{xn}，使得对于任意n≥1，有f(xn)= g(xn+1).证明：存在ξ∈[0,1],使得 f(ξ)=g(ξ).

对于正项数列{an}，如果有an+1/an=a,a>0，证明必有n√an=a.

证明数列{sinn}发散.

设数列{xn}满足1/xn+1 +lnxn<1，证明：xn存在，并求之.(已知：1/x+lnx≥1)

求极限(1+++⋯+)/n.

求极限nxnexdx.

求证：((cosx)ndx)1/n =1

求证：(n/3-k2/n2 )=-1/2.

考研数列极限存在准则

数列极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

浙江大学数列极限

设x1=1,xn+1=,n=1,2,3,⋯(1)证明：xn =0.(2)计算n(xn-ln⁡(1+xn)).

求极限：⁡n[(1²+3²+⋯+(2n+1)²)/n³ -4/3]

设数列{xn}有界，且(xn+1-xn)=0，令 m=xn ,M=xn,m<M证明：在区间(m,M)上任意一个数都是此数列的一个子列的极限.

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且an=0， bn=1，cn=∞，则必有【】

莫斯科财政金融学院数列极限

在一个虚拟的世界中，每个居民（设想为没有大小的几何点）依次编号为1,2,⋯.为了抗击某种疫情，这些居民要接种某疫苗，并在注射后在现场留观一段时间。现在假设留观的场所是平面上的一个半径为1/4的圆周。为了安全,要求第m号居民和第n居民之间的距离dm,n满足(m+n)dm,n≥1这里我们考虑的是圆周上的距离，也就是两点间劣弧的弧长。那么1.选择题(4分)下列选项（）符合实际情况。A 这个留观室最多能容纳8个居民B 这个留观室能容纳的居民个数有大于8的上限:C 这个留观室可以容纳任意多个居民。2.证明题(6分)证明你的论断。

设xn=(1+1/n2 )(1+2/n2 )…(1+n/n2 )，求xn.