大学数学-考研试题(安徽大学 2024年数列极限)

计算题（2024年安徽大学）

求极限：⁡n[(1²+3²+⋯+(2n+1)²)/n³ -4/3]

答案解析

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讨论

大学数学

设函数f在[0,1]上连续，定义g(t)=(tf(x))/(x²+t²) dx,t∈R证明：函数g在点0处连续当且仅当f(0)=0.

设函数f在R上可微，且满足对任意x∈R，有f(x+1)-f(x)=f'(x)以及f' (x)=1，证明：存在常数C，使得f(x)=x+C.

设函数f是(0,1]上无界的单调函数，且广义积分f(x) dx收敛，证明：1/n f((k-1)/n) =f(x)dx

设f是定义在[a,b]上的函数，且G={(x,f(x))|x∈[a,b]}是R2上的有界闭集，证明：f是[a,b]上的连续函数.

设函数f,g在[0,1]上连续，且存在包含于[0,1] 的数列{xn}，使得对于任意n≥1，有f(xn)= g(xn+1).证明：存在ξ∈[0,1],使得 f(ξ)=g(ξ).

设函数f1 (x)在[0,1]上连续，K(x,y)在[0,1]×[0,1]上连续，对任意x∈[0,1]，定义fn+1(x)=K(x,y) fn (y)dy,n=1,2,⋯证明：函数列{fn (x)}在[0,1]上一致收敛于0.

设x1=1,xn+1=,n=1,2,3,⋯(1)证明：xn =0.(2)计算n(xn-ln⁡(1+xn)).

请利用闭区间套定理证明确界存在定理.

浙江大学集合

求极限1/x |sint|dt

数列极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

设数列{xn}满足xmn≤xm+xn,xn>0，证明：存在.

浙江大学数列极限

设数列{xn}有界，且(xn+1-xn)=0，令 m=xn ,M=xn,m<M证明：在区间(m,M)上任意一个数都是此数列的一个子列的极限.

求极限( -√n)/

已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

已知α>0，求极限.

已知an=a≠0，试用ε-N语言证明：1/an =1/a.

函数与极限

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.