大学数学-考研试题(上海交通大学 2012年数列收敛的性质)

判断题（2012年上海交通大学）

设{a_n}是一个数列，若在任一子列{a_nk}中均存在收敛子列{a_nkl}，则{a_n}必为收敛列.

答案解析

暂无答案

讨论

数列收敛的性质

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

设x1=1,xn+1=,n=1,2,3,⋯(1)证明：xn =0.(2)计算n(xn-ln⁡(1+xn)).

计算 (1-x²)ndx

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

由下面哪个条件能够判断{xn}收敛【】

数列{n√n}(n=1,2,3,⋯)的最大项为5√5.

函数列{nx/(1+nx)}在(0,1)上一致收敛.

若级数un² 和vn² 都收敛，则级数(un+vn )² 也收敛.

如果函数列{fn(x)}在区间(a,c]和[c,b)上一致收敛，那么{fn(x)}在(a,b)上一致收敛.

计算 (1-x²)ndx

数列极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

设数列{xn}满足xmn≤xm+xn,xn>0，证明：存在.

浙江大学数列极限

设函数f,g在[0,1]上连续，且存在包含于[0,1] 的数列{xn}，使得对于任意n≥1，有f(xn)= g(xn+1).证明：存在ξ∈[0,1],使得 f(ξ)=g(ξ).

求极限：⁡n[(1²+3²+⋯+(2n+1)²)/n³ -4/3]

设数列{xn}有界，且(xn+1-xn)=0，令 m=xn ,M=xn,m<M证明：在区间(m,M)上任意一个数都是此数列的一个子列的极限.

对于正项数列{an}，如果有an+1/an=a,a>0，证明必有n√an=a.

设函数f∈C[0,1]，记In=f(tn )dt(n≥1)证明：(1) In 存在，并且等于f(1).(2) 若f'(0)存在，则In=f(0)+1/n (f(t)-f(0))/t dt+o(1/n)

莫斯科财政金融学院数列极限

在一个虚拟的世界中，每个居民（设想为没有大小的几何点）依次编号为1,2,⋯.为了抗击某种疫情，这些居民要接种某疫苗，并在注射后在现场留观一段时间。现在假设留观的场所是平面上的一个半径为1/4的圆周。为了安全,要求第m号居民和第n居民之间的距离dm,n满足(m+n)dm,n≥1这里我们考虑的是圆周上的距离，也就是两点间劣弧的弧长。那么1.选择题(4分)下列选项（）符合实际情况。A 这个留观室最多能容纳8个居民B 这个留观室能容纳的居民个数有大于8的上限:C 这个留观室可以容纳任意多个居民。2.证明题(6分)证明你的论断。

函数与极限

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.