大学数学-考研试题(上海交通大学 2012年数列收敛的性质)

计算题（2012年上海交通大学）

计算 (1-x²)ⁿdx

答案解析

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讨论

数列收敛的性质

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

设x1=1,xn+1=,n=1,2,3,⋯(1)证明：xn =0.(2)计算n(xn-ln⁡(1+xn)).

设{an}是一个数列，若在任一子列{ank}中均存在收敛子列{ankl}，则{an}必为收敛列.

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

由下面哪个条件能够判断{xn}收敛【】

设{an}是一个数列，若在任一子列{ank}中均存在收敛子列{ankl}，则{an}必为收敛列.

数列{n√n}(n=1,2,3,⋯)的最大项为5√5.

函数列{nx/(1+nx)}在(0,1)上一致收敛.

若级数un² 和vn² 都收敛，则级数(un+vn )² 也收敛.

如果函数列{fn(x)}在区间(a,c]和[c,b)上一致收敛，那么{fn(x)}在(a,b)上一致收敛.

微积分基本公式

证明：1/T sinatcosbt/t dt=

求含参积分I(y)=e-x²cos⁡(2xy) dx.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.

理工数学Ⅱ微积分基本公式

(2x+3)/(x2-x+1)dx=__________.

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

设f(x)在(-∞,+∞)内连续可导，且m≤f(x)≤M,a>0.(1)求1/(4a2)[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)求证：|1/2af(t)dt-f(x)|≤M-m.

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

数列极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

设数列{xn}满足xmn≤xm+xn,xn>0，证明：存在.

浙江大学数列极限

设函数f,g在[0,1]上连续，且存在包含于[0,1] 的数列{xn}，使得对于任意n≥1，有f(xn)= g(xn+1).证明：存在ξ∈[0,1],使得 f(ξ)=g(ξ).

求极限：⁡n[(1²+3²+⋯+(2n+1)²)/n³ -4/3]

设数列{xn}有界，且(xn+1-xn)=0，令 m=xn ,M=xn,m<M证明：在区间(m,M)上任意一个数都是此数列的一个子列的极限.

对于正项数列{an}，如果有an+1/an=a,a>0，证明必有n√an=a.

设函数f∈C[0,1]，记In=f(tn )dt(n≥1)证明：(1) In 存在，并且等于f(1).(2) 若f'(0)存在，则In=f(0)+1/n (f(t)-f(0))/t dt+o(1/n)

设0<a<1，求极限(a+2a2+3a3+⋯+nan).

((n-2)/(n+1))n=________.