大学数学-考研试题(安徽大学 2024年函数的单调性)

证明题（2024年安徽大学）

设函数f(x)为(a,b)上的凸函数，即∀x₁,x₂∈(a,b)以及λ∈(0,1)，有

f(λx₁+(1-λ) x₂ )≤λf(x₁ )+(1-λ)f(x₂)

证明：(1)对∀x∈(a,b)，左右导数f_-' (x),f₊' (x)均存在，且f_-' (x)≤f₊' (x)，

(2) f_-' (x),f₊' (x)均在(a,b)上单调递增.

答案解析

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讨论

导数概念

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

设函数f(x)在区间(-1,1)上有定义，且f(x)=0，则【】

证明：(f(x0+h)-f(x0-k))/(k+h)存在的充要条件为f在x0处可导.

函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是【】

设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处【】

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

函数，在 x=0处【】

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

已知f'(3)=2，则(f(3-h)-f(3))/2h=________.

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】

函数的单调性

证明：tanx/x > x/sinx，其中x∈(0,π/2).

证明：当x>0时，有不等式arctanx+1/x>π/2.

试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2.

证明：若f(x)在(a,b)内可导，且导数f'(x)恒大于0，则f(x)在(a,b)内单调增加.

设b>a>e，证明ab>ba.

设函数f(x)在[0,1]上f'' (x)>0，则f' (0),f' (1),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是【】

已知命题：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，f'(a)>0，则存在c∈(a,b)，使得f(x)在区间[a,c)上单调增加，判断该命题是否成立.若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立.

求极限：⁡n[(1²+3²+⋯+(2n+1)²)/n³ -4/3]

设函数f(x)在I上有定义，令ωf(δ)=|f(x)-f(y)|证明：(1)ωf(δ)存在.(2) f(x)在区间I上一致连续等价于ωf(δ)=0.

求极限：[1/e (1+1/x)x ]x

曲线的凸凹性

设函数f(x)具有2阶导数，且f' (0)=f' (1),|f'' (x)|≤1，证明：(1)当x∈(0,1)时，|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|≤(x(1-x))/2;(2) |f(x) dx-(f(0)+f(1))/2|≤1/12.

确定函数y=(x+1)/x2 的单调区间、极值、凸凹区间、拐点以及渐近线.

求曲线y=1/(1+x2 )(x>0)的拐点.

设函数f(x)在x=x0处有2阶导数，则【】

曲线y=(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是____________.

设f(x)有二阶连续导数，且f' (0)=0,f''(x)/|x|=1，则【】

设在区间[a,b]上f(x)>0,f' (x)<0,f''(x)>0，记S1=f(x)dx,S2=f(b)(b-a),S3=1/2[f(a)+f(b)](b-a)，则【】

曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是__________；法线方程是____________.

求函数f(x)=x2/(1+x2 )的极值与拐点，并求拐点处的切线方程.

设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导，f(x)存在，f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的，求证：f′(x)=0.