大学数学-考研试题(高等代数 2024年向量空间)

证明题（2024年安徽大学）

设A是n维欧氏空间V上的线性变换，在基α₁,α₂,⋯,α_n下的矩阵为A.证明：A为对称变换的充要条件是A^T G=GA，其中G=(α_i,α_j )为基α₁,α₂,⋯,α_n的度量矩阵.

答案解析

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讨论

大学数学

设n元实二次型f(x1,x2,⋯,xn )=l1²+⋯+ls²-ls+1²-ls+t²，其中li=ai1 x1+ai2 x2+⋯+ain xn,aij∈R,i=1,2,⋯,s+t,j=1,2,⋯,n.证明：f(x1,x2,⋯,xn )的正惯性指数p≤s.

设多项式f(x)=xp+px+p-1，其中p为奇素数，证明：f(x)在有理数域上不可约.

设实矩阵A=(1)求A的若尔当标准形J.(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=J.

设复二次型f(x1,x2,x3 )=2x1²+x2²-4x1 x2-4x2 x3求非退化线性变换X=CY，将二次型f(x1,x2,x3 )化为规范形，其中X=(x1,x2,x3 )T,Y=(y1,y2,y3 )T，并写出规范形.

设A是5×4矩阵，且r(A)=3,β为5维非零向量，已知γ1,γ2,γ3为方程AX=β的3个不同的解，且γ1+γ2=(2,2,0,2)T,γ1+γ3=(0,0,2,0)T.求AX=β的通解.

设多项式f(x)=2x4+2x³-5x²-13x-2,g(x)=x³+x²-3x-6求f(x)与g(x)的首一最大公因式(f(x),g(x))，以及多项式u(x)和v(x)，使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))

设A=(aij)，其中aij=(1-xin yjn)/(1-xi yj ),xi yj≠1,i,j=1,2,⋯,n，求行列式|A|.

设A(λ),B(λ)都是数域P上m×n的λ矩阵，则A(λ),B(λ)等价的充要条件为A(λ)与B(λ)有相同的初等因子组.

设A是n维复线性空间V上的线性变换，n>1，若An=0，且An-1≠0，则存在两个A的非平凡子空间U和W，使得V=U⨁W.

设A,B都为4阶复方阵，则A与B相似当仅当A与B有同的特征多项式，且每个特征值的几何重数(即对应特征子空间的维数)也相同.

向量空间

设V是欧氏空间，W是V的子空间，V中的向量α不在W中，问是否存在α0∈W，使得α-α0与W的任意向量都正交？如果不存在，举出例子；如果存在，说明理由并讨论其唯一性.

设V是n维线性空间，φ为V上的线性变换，且φ的特征多项式为f(x)=(x-λ1 )m1(x-λ2 )m2(λ1≠λ2)其中m1+m2=n.(1)证明：Ker((φ-λ1 E)m1)是φ的不变子空间，其中E是恒等变换；(2)证明：V=Ker((φ-λ1 E)m1)⨁Ker((φ-λ2 E)m2).

设α,β,γ 是有理数域上线性空间V中的向量，其中α≠0，假如存在V上的线性变换Γ，使得Γα=β,Γβ=α,Γγ=α-β.证明：α,β,γ在V中线性无关.

已知A,B,C是有限维线性空间上的三个线性变换，证明：A+B-ACB和A+B-BCA在该空间是同构的.

设R³为带标准内积的3维欧氏空间，对R³的基α1=(-1,1,1),α2=(0,-1,1),α3=(0,0,1)进行Schmidt正交化得R³的标准正交基β1,β2,β3，则β3=________.

设R^3上的线性变换A(x)=x，则α=生成的A-循环不变空间的维数为________.

设A是n阶复方阵，V1是A的行向量生成的Cn的子空间，V2是A的列向量生成的Cn的子空间，则V1=V2.

设A是n维线性空间V的线性变换，则V=ImA⊕KerA.

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n，定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设：(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n)，存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk；(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j)， vi∙vj=0.证明：(i) A有一个行向量；对于A的另外任意一个行向量v_i，它有n/2个分量为1，n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m，则可以通过重新排列A的行与列，将A变为方阵这里，X⨂m==是方阵X的m次张量积：两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j'，整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q，且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.

已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T，则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.

向量组的线性相关性

已知直线L1:(x-a2)/a1 =(y-b2)/b1 =(2-c2)/c1 与直线L2:(x-a3)/a2 =(y-b3)/b2 =(2-c3)/c2 相交与一点，法向量αi=,i=1,2,3，则【】

设向量α1=,α2=,α3=，若α1,α2,α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab=__________.

设向量α1=,α2=,α3=，若α1,α2,α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则【】

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.

设α1,α2,…,αr是n维向量.令β1=α2+α3+⋯+αr,β2=α1+α3+⋯+αr,…,βr=α1+α2+⋯+αr-1.证明向量组β1,β2,…,βr与向量组α1,α2,…,αr有相同的秩.

已知同维数的两个向量组有相同的秩，且其中之一可用另外一个线性表示，证明：这两个向量组等价。

设向量组A:α1,α2,… ,αs可以由向量组B:β1,β2,… ,βt线性表示且R(A)=R(B).证明向量组A与向量组B等价.

设xoy在平面上n个结点Mi(xi,yi ),i=1,2,…,n(n≥3).证明：M1,M2,…,Mn在同一条直线上⟺R=2.

已知向量组α1=(1,2,3,4),α2=(2,3,4,5),α3=(3,4,5,6),α4=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是______.

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关.