大学数学-考研试题(经济数学Ⅲ 2024年函数的极值与最值)

填空题（2024年经济数学Ⅲ）

某产品的价格函数为p=，（p为单价，单位：万元；Q为产量，单位：件），总成本函数为C=150+5Q+0.25Q²（万元），则经营该产品可获得的最大利润为______(万元).

答案解析

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【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是______.

5/(x4+3x2-4)dx__________.

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.

随机变量X,Y相互独立，其X~N(0,2),Y~N(-1,1)，记p1={2X>Y},p2={X-2Y>1}，则【】

设随机变量X的概率密度为f(x)=，则X的三阶中心矩E(X-EX)³=【】

设矩阵A=,Mij表示A的i行j列元素的余子式.若|A|=-1/2，且-M21+M22-M23=0，则【】

设二次型f(x1,x2,x3 )=xT Ax在正交变换下可化成y1²-2y2²+3y3²，则二次型f的矩阵A的行列式值与迹分别为【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

设I=|sinx|dx,k为整数，则I的值【】

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

中值定理与导数的应用

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

设函数f:[0,1]→R是连续的且在(0,1)上可微，若f满足：(1) f(0)=0；(2)存在常数M>0使得|f'(x)|≤M|f(x)|对任意x∈(0,1)成立.证明：在[0,1]上f(x)=0.

曲线y²=x在点(0,0)处的曲率圆方程为____________________.

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是__________.

设函数f(x)具有2阶导数，且f' (0)=f' (1),|f'' (x)|≤1，证明：(1)当x∈(0,1)时，|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|≤(x(1-x))/2;(2) |f(x) dx-(f(0)+f(1))/2|≤1/12.

已知f''(x)<0,f(0)=0，证明对任何x1>0,x2>0，恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.

设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)≥k>0,f(0)<0，证明：f(x)在(0,+∞)有且仅有一个零点.

设b>a>e，证明ab>ba.

设函数f(x)在[0,1]上f'' (x)>0，则f' (0),f' (1),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是【】

若3a2-5b<0，则方程x5+2ax3+3bx+4c=0【】

函数的极值与最值

当x=______时，函数y=x∙2x取得极小值.

设(f(x)-f(a))/(x-a)2=-1，则在x=a处【】

设y=f(x)是方程y''-2y'+4y=0的一个解，且f(x0)>0,f' (x0)=0，则函数f(x)在点x0处【】

已知f(x)在x=0的某个领域内连续，且f(0)=0,f(x)/(1-cosx)=2，则在点x=0处f(x)【】

若g(x)在x=c处二阶导数存在，且g' (c)=0,g'' (c)<0，则g(c)为g(x)的一个极大值.

将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆，问这两段铁丝长各为多少时，正方形与圆的面积之和为最小？

设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处【】

在椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的第一象限上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围成图形面积为最小（其中a>0,b>0）.

试求椭圆x2/4+y2=1上一点，使其到直线3x+4y-12=0,3x-4y+12=0和y+3=0的距离平方和最小.

设a,b,c,d皆为常数，cd≠0，说明并给出理由，当a,b,c,d满足什么条件时，f(x)=(ax+b)/(cx+d)无极值.