大学数学-考研试题(西安交通大学 2024年幂级数)

填空题（2024年西安交通大学）

求级数sinnx/n!=________.

答案解析

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讨论

大学数学

若f(x)=x+lnx,g(x)是f(x)的反函数，则g'' (x)=________.

求(lnn-[lnn])=______.

求极限(exsinx-x(1+x))/x³=______.

设矩阵A=,B=，向量α=,β=.(1)证明：方程组Ax=α的解均为方程组Bx=β的解；(2)若方程组Ax=α与方程组Bx=β不同解，求a的值.

设函数z=z(x,y)由方程z+ex-yln(1+z²)=0确定，求(∂²z/∂x²+∂²z/∂y²)|(0,0).

设t>0，平面有界区域D由曲线y=xe-2x与直线x=t,x=2t及x轴围成，D的面积为S(t)，求S(t)的最大值.

设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.若r(2E-A)=1,r(E+A)=2，则|A* |=______.

某产品的价格函数为p=，（p为单价，单位：万元；Q为产量，单位：件），总成本函数为C=150+5Q+0.25Q²（万元），则经营该产品可获得的最大利润为______(万元).

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是______.

5/(x4+3x2-4)dx__________.

幂级数

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】

设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.

已知幂级数anxn的和函数为ln⁡(2+x)，则na2n =【】

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

求幂级数(2n+1) xn 的收敛域，并求其和函数.

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

无穷级数

证明：当x>0时，ln√x=1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1 ，并讨论1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1关于x∈(0,+∞)是否一致收敛.

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

设非负函数f(x)在[0,+∞)上连续，给出以下三个命题：①若f² (x)收敛，则f(x)收敛.②若存在p>1，使得xp f(x)存在，则f(x)收敛.③若f(x)收敛，则存在p>1，使得xp f(x)存在.其中真命题个数为【】

已知函数f(x)=x+1，若f(x)=a0/2+ancosnx,x∈[0,π]，则n²sina2n-1 =______.

设级数an 绝对收敛，bn 收敛，且an =A,bn =B，令cn=a1bn+a2bn-1+⋯+an b1=akbn-k+1，则cn =AB.

已知f(x)=，将f(x)展开成正弦级数，并求该级数的和函数.

解答如下问题：(1)证明：(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n)关于x∈(-∞,+∞)一致收敛.(2)计算⁡(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n ).

设f(x)=(1)求f(x)的傅里叶级数与傅里叶级数的和函数；(2)证明：1/n2 =π2/6.

证明：(-1)n(n+x2)/n2在[a,b]上一致收敛.

设f(x)为周期为2的周期函数，且f(x)=1-x,x∈[0,1]，若f(x)=a0/2+ancosnπx，则a2n =________.