大学数学-竞赛试题(阿里巴巴 2024年运筹学)

单项选择（2024年阿里巴巴）

几位同学假期组成一个小组去某市旅游. 该市有6座塔，它们的位置分別为A、B、C、D、E、F. 同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现，自己在所在的位置只能看到位于A、B、C、D处的四座塔，而看不到位于E和F的塔，已知：

(1)同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合；

(2)A、B、C、D、E、F 中任意3点不共线；

(3)看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡，例如，如果某位同学所在的位置P和A、B共线，且A在线段PB上，那么该同学就看不到位于B处的塔.

请问，这个旅游小组最多可能有多少名同学？

A、3

B、4

C、6

D、12

答案解析

C由于任意三座塔的位置不共线. 所以对任意一位同学来说. E和F处的塔必然是被两座不同的塔阻挡了视线.任取前面的2座塔(不妨设为A处和B处的塔). 假设一位同学的视线是被这2座塔阻挡，那么该同学的位置或者是EA的延长线和FB的延长线的交点，或者是EB的延长线和FA 的延长线的交点.然而，如果...

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讨论

大学数学

设函数f(x)连续可导，且f(0)=1,0<f'(x)<1/2.设{xn}满足：xn+1=f(n),(n=1,2,⋯)，证明：(1)级数(xn+1-xn)绝对收敛.(2)xn存在，且0<xn <2.

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可微，且满足条件：0≤f(x)≤x/(1+x²)(0≤x<+∞)求证：存在ξ>0，使得f'(ξ)=(1-ξ²)/(1+ξ²)².

证明：函数项级数(-1)n/(x²+n)在区间x∈(-∞,+∞)上一致收敛.

讨论：当α>0时，函数f(x)=xα在区间[0,+∞)上的一致连续性.

设有界区域Ω由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，Σ为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分：I=∬Σ(x²+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy

已知L是第一象限中点从点(0,0)沿圆周x²+y²-2x=0到点(2,0)，再沿圆周x²+y²=4到点(0,2)的曲线段，计算I=∫L3x²ydydx+(x³+x-2y)dy

求圆锥体z≥与球体x²+y²+(z-1)²≤1所围立体的体积.

北京邮电大学反常积分的审敛法

当x→0时，xe-x/2与αxn是等价无穷小，求α和n.

讨论方程(lnx)²-2lnx+2x+k=0的实根的个数，其中k是常数.

专业数学

求边值问题的固有值和固有函数

写出定解问题的解的表示 ,S:x2+y2+x2=1.

求定解问题对应的贝塞尔方程

设有一根具有绝热的侧表面均匀的细杆，密度为ρ，横截面面积为A，其初始温度为φ(x)，两端满足下列边界条件之一：(1)一端（x=0）绝热，另一端（x=L）有热流密度q进入；(2)一端（x=0）温度为μ1(t)，另一端（x=L）与温度为θ(t)的介质有热交换。试分别写出上述两种热传导过程的定解问题。

电子科技大学数理方程

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且f' (z)=0，试证f(z)是一个常量。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域1<|z|<+∞中展开为罗朗级数。

设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为φ(x)，在一端有热流密度q1进入，另一端与温度为θ(t)的介质有热交换。写出定解问题。

求方程uxx+6uxy-7uyy=0的通解。

求方程uxx+10uxy+9uyy=0的通解.

运筹学

小明玩战机游戏. 初始积分为2. 在游戏进行中，积分会随着时间线性地连续减少（速率为每单位时间段扣除1）。游戏开始后，每隔一个随机时间段（时长为互相独立的参数为1的指数分布)，就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时，小明立即进行操作，可以瞬间击落对方，或者瞬间被对方击落。如被敌机击落，则游戏结束。如小明击落敌机，则会获得1.5个积分，并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏，或者继续游戏。如选择继续游戏，则须等待到下一架敌机出现，中途不能主动退出。游戏的难度不断递增：出现的第n架敌机，小明击落对方的概率为(0.85)n，被击落的概率为1-(0.85)n，且与之前的事件独立。在任何时刻，如果积分降到0，则游戏自动结束。问题部分：(1) 如果游戏中，小明被击落后，其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化，小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2) 假设游戏中，小明被击落后，其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到0)，下列哪一个选项最接近游戏结束时小明的期望积分?(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

对于实数T>0，称欧氏平面R²的子集Γ为T-稠密的,如果对任意v∈R²,存在w∈Γ满足‖v-w‖≤T.设2阶整方阵A∈M2 (Z)满足det⁡(A)≠0.(1)假设tr(A)=0.证明存在C>0,使得对任意正整数n,集合A^n Z²≔{An v:v∈Z² }是C|de t⁡(A) |n/2-稠密的.(2)假设A的特征多项式在有理数域上不可约.证明与(1)相同的结论.注:这里R²和Z²中的向量约定为列向量，R²中的内积为标准内积，即〈v,w〉=vt w.(提示:在对(2)的证明中,可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形：R²中以原点为中心且面积为4的任意闭平行四边形中总包含Z²中的非零向量.)

蚂蚁森林是全球最大的个人碳账户平台，该平台以量化方式记录每个人的低碳行为。当支付宝用户收集到足够的“能量”时，他/她可以向蚂蚁森林申请种植一棵真正的树。截至2019年4月22日(世界地球曰)，支付宝蚂蚁森林的5亿用户已经在中国西北地区种植了1亿棵真树，总面积为11.2万公顷，保护着总面积为1.2万公顷的保护地。1.本题两小问中考虑在一个3×4的长方形区域的每个小方格的中心点种树，要求在横、竖、斜3个方向上都不能存在连续的3颗(及以上)树。令1表示可以种树，0表示不可以种树。满足种树条件的示意图为不满足种树条件的示意图为(a)请问在一个3×4的区域里，最多能种多少颗树，并给出一种种植的方式。(b) 在满足上一问最多能种多少颗树答案的前提下，请问一共有多少种种法，给出思路和答案。2. 考虑一个由从左到右的n个小方格组成的1×n的区域，从左向右依次在每个小方格种一棵树，一共种n棵。树的种类只有两种：胡杨和樟子松。假设在第一个小方格种植的树是胡杨的概率是r。后续种树的规则为：如果前一个小方格种的是胡杨，则本格种胡杨的概率为s；如果前一个小方格种的是樟子松，则本格种樟子松的概率为t,0<r,s,t<1。(a)假设r=1/3,s+t≠1。是否存在s和t，使得对任意的i,2≤i≤n，在第i个小方格种植的树是胡杨的概率都等于一个跟i无关的常数？如果存在，请给出s和t的关系；如果不存在，请说明理由。(b) 假设r=1/3,s=3/4,t=4/5。假设我们观察到第2019个小方格里种植的树是胡杨，但我们观察不到在其它小方格里种植的是哪种树。请问在第一个小方格里种植的树是胡杨的概率是多少？3.为了种树的可持续发展控制成本，蚂蚁森林希望在知道用户申请数量之前从公益机构获得种植配额。令随机变量D1和D2分别表示支付宝用户对胡杨和樟子松的申请数量。将Di的分布函数记为Fi，其均值和方差分别表示为μi和σi2(i=1,2)。假设蚂蚁森林只知道μi和σi2 (i=1,2)但并不知道F的其它信息。蚂蚁森林需要确定两种树的配额，分别记为Qi (i=1,2)。由于环境的承受能力，种植的树木总数不能超过给定的常数M，即Q1+Q2≤M并且假设M≥μ1+μ2。已知两种树的订购成本分别为cQi (i=1,2)。如果预留配额Qi小于种树申请数量Di，即Qi≤Di，则增加额外成本m[Di-Qi ]+ (i=1,2)。这里[x]+≜max⁡{x,0}.m,c,μi,σi为已知常数且满足关系(m-c)/c>(σ1/μ1 )2>(σ2/μ2 )2.蚂蚁森林希望选择种树配额Qi≥0(i=1,2)使得在最坏情况下总成本的期望极小，其中最坏情况是针对所有可能的均值为μi、方差为σi2的分布函数Fi。从数学上讲，目标是求解以下优化问题：,(1)subject to Q1+Q2≤M,Q1,Q2≥0其中Fi是所有均值为μi、方差为σi2 (i=1,2)的累积分布函数的集合，其支撑集为非负数。问题：请求解问题(1)，推导最优种树配额Qi,i=1,2的显式表达式。

2019年第一届阿里巴巴数学竞赛的优胜者们在参加集训营的时候，集体送给主办方负责人的礼物，是一个有60个全等的三角形面的多面体。从图中我们可以看到，这个多面体的表面是60个全等的空间四边形拼接而成的。一个空间n边形是指由一个平面n边形沿若干条对角线做适当翻折（即在选定的对角线处形成适当的二面角)后得到的空间图形。两个空间图形全等指的是它们可以通过R3中的一个等距变换完全重合。一个多面体指的是一个空间有界区域，其边界可以由有限多个平面多边形沿公共边拼接而成。1. 判断题(4分) 我们知道2021=43×47.那么是否存在一个多面体，它的表面可以由43个全等的空间47边形拼接而成?2. 问答题(6分) 请对你的判断给出逻辑的解释。

去年，张师傅因为多旋圈面爆红，今年他来到了达摩院给扫地僧做面。某天，软件工程师小李跟张师傅吐槽工作。小李主要硏究和设计算法用于调节各种产品的参数。这样的参数一般可以通过极小化Rn上的某个损失函数f求得。在小李最近的一个项目中，这个损失函数是另外一个课题组提供的；出于安全考虑和技术原因，该课题组难以向小李给出此函数的内部细节，而只能提供一个接口用于计算任意x∈Rn处的函数值f(x)。所以，小李必须仅基于函数值来极小化f。而且，每次计算f的值都消耗不小的计算资源。好在该问题的维度n不是很高(10左右)。另外，提供函数的同事还告知小李不妨先假设f是光滑的。这个问题让张师傅想起了自己收藏的一台古董收音机。要在这台收音机上收听一个节目，你需要小心地来回拧一个调频旋钮，同时注意收音效果，直到达到最佳。在这过程中，没有人确切地知道旋钮的角度和收音效果之间的定量关系是什么。张师傅和小李意识到，极小化f不过就是调节一台有多个旋钮的机器：想象x的每一个分量由一个旋钮控制，而f(x)表示这台机器的某种性能，只要我们来回调整每个旋钮，同时监视f的值，应该就有希望找到最佳的x。受此启发，两人一起提出了极小化f的一个迭代算法，并命名为“自动前后调整算法”( Automated Forward/Backward Tuning，AFBT，算法1)。在第k次迭代中，AFBT通过前后调整xk的单个分量得2n个点{xk±tk ei:i=1,…,n}，其中tk为步长；然后，令yk为这些点中函数值最小的一个，并检査yk是否使f充分减小；若是，取xk+1=yk，并将步长增倍；否则，令xk+1=xk并将步长减半。在算法1中，ei表示Rn中的第i个坐标向量，它的第i个分量为1，其余皆为0； I(∙) 为指示函数——若f(xk )-f(yk)至少为tk之平方，则I[f(xk )-f(yk )≥tk2]取值为1，否则为0。1自动前后调整算法(AFBT)输入x0∈Rn,t0>0。对k=0,1,2,…，执行以下循环。1：yk≔argmin{f(y):y=xk±tk ei,i=1,…,n} #计算损失函数。2：sk≔I[f(xk )-f(yk )≥tk2] #是否充分下降？是：sk=1；否：sk=0。3：xk+1≔(1-sk ) xk+sk yk #更新迭代点。4：tk+1≔2(2sk-1 ) tk #更新步长。sk=1：步长增倍；sk=0：步长减半。现在，我们对损失函数f:Rn→R作出如下假设。假设1. f为凸函数，即对任何x,y∈Rn与α∈[0,1]都有f((1-α)x+αy)≤(1-α)f(x)+αf(y).假设2. f在Rn上可微且∇f在Rn上 L-Lipschitz连续。假设3. f的水平集有界，即对任意λ∈R，集合{x∈Rn:f(x)≤λ}皆有界。基于假设1与假设2，可以证明〈∇f(x),y-x〉≤f(y)-f(x)≤〈∇f(x),y-x〉+L/2 ‖x-y‖2对任何x,y∈Rn成立；假设1与假设3则保证f在Rn上取到有限的最小值f*。凸函数的更多性质可参考任何一本凸分析教科书。证明题(20分) 在假设1-3下，对于AFBT，证明f(xk)=f*.

面条是中华传统美食，花样不断翻新。清晨，擀宽面的张师傅别出心裁，把他的宽面条两头粘上，变成了宽面圈儿，如图：他平时切面条一样，把宽面圈儿沿着中心线切开，就得到两个完全同样的宽面圈儿，如图：张师傅灵机一动，重新将面条拧了一下，再两头粘上。这样竟然成了数学中常常讲到的莫比乌斯带（以德国数学家奥古斯特●莫比乌斯命名），如图：接着，他灵机两动，三动，直至n动。将宽面拧了两个，三下，直至n下，总以如图的右手内旋的方式来拧，然后照样地两头粘上。这些宽面圈儿在数学上还没有固定的名称。张师傅把莫比乌斯带称作1旋圈面，拧两下、三下的称作2旋、3旋圈面，总之，拧n下就是旋圈面；n为2、3、7的情形如图：起先没有拧就粘上的，普普通通，只称作平凡圈面，或者0旋圈面。在线师傅看来，不同旋数的圈面是彼此不同的（因为只在厨房里摆放来，摆放去，总不能把一种变成另一种）。张师傅把他的多旋圈面开店上架，一时网红。有人为百岁老人订制100旋圈面，有人为公司年会订制2019旋圈面，（张师傅拧得手都酸了）。试问：张师傅要是依旧沿中心线切开这两种圈面，分别会得到什么？【】

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x)，定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题（10分）求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题（15分）对任意整数k，记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1，找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

当某公司推出一个新的社交软件时，公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化，也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度)，这里t表示时间，而x表示客户对该社交软件的使用时长，那么在t时刻，对于0<x1<x2，使用时长介于x1和x2之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设，密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响：假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。假设2.客户在使用过程中，可能会停止使用，我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。假设3.新客户的来源有两个。①公司的宣传：单位时间内因此增加的人数是时间的函数，用c(t)表示。②老客户的宣传：老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件，推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关，记作b(x)。假设如果在某一时刻，记为t=0时，密度函数是已知的，n(0,x)=n0 (x)。可以推导出，n(t,x)的时间演化满足如下的方程 (1)这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞)，即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设：c(t)≡0，即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。(i)问答题(10分)根据假设1和假设2，形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程，需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3，解释(1)中N(t)的定义的含义。(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程，且方程中只包含N(t),n0 (x),b(x),d(x)，而不包含n(t,x)。并证明，N(t)满足如下估计|N(t)|≤‖b‖∞|n0 (x)|dx,这里‖∙‖∞表示L∞范数。(iii)证明题(10分)最后，我们想要研究，在充分长的时间之后，数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加，所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x)，而更应该去看一个重整化的密度函数。为此，我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ0,φ(x))：并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x)：然后，我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e-λ0 t。证明，对于任意凸函数H:R+→R+满足H(0)=0，我们有d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,并证明ψ(x)n(t,x))dx=eλ0t ψ(x) n0 (x)dx.

设h(z)是关于自然变量z的多项式.考虑系数在多项式环C[z]中的关于y的三次方程y3-3zy+h(z)=0.(i)当h(z)=-z3-1时，找到此方程的至少一个一次多项式函数解.(ii)假设方程y3-3zy+h(z)=0有三个互不相等的整函数解y=f1(z),f2(z),f3(z)，则h(z)可以取哪些多项式？注：整函数指在整个复平面上解析的函数.

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n，定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设：(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n)，存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk；(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j)， vi∙vj=0.证明：(i) A有一个行向量；对于A的另外任意一个行向量v_i，它有n/2个分量为1，n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m，则可以通过重新排列A的行与列，将A变为方阵这里，X⨂m==是方阵X的m次张量积：两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j'，整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q，且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.