当某公司推出一个新的社交软件时，公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化，也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度)，这里t表示时间，而x表示客户对该社交软件的使用时长，那么在t时刻，对于0<x₁<x₂，使用时长介于x₁和x₂之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设，密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响：

假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。

假设2.客户在使用过程中，可能会停止使用，我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。

假设3.新客户的来源有两个。

①公司的宣传：单位时间内因此增加的人数是时间的函数，用c(t)表示。

②老客户的宣传：老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件，推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关，记作b(x)。

假设如果在某一时刻，记为t=0时，密度函数是已知的，n(0,x)=n₀ (x)。可以推导出，n(t,x)的时间演化满足如下的方程

    (1)

这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞)，即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设：c(t)≡0，即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。

(i)问答题(10分)根据假设1和假设2，形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程，需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3，解释(1)中N(t)的定义的含义。

(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程，且方程中只包含N(t),n₀ (x),b(x),d(x)，而不包含n(t,x)。并证明，N(t)满足如下估计

|N(t)|≤‖b‖_∞|n₀ (x)|dx,

这里‖∙‖_∞表示L^∞范数。

(iii)证明题(10分)最后，我们想要研究，在充分长的时间之后，数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加，所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x)，而更应该去看一个重整化的密度函数。

为此，我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ₀,φ(x))：

并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x)：

然后，我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e^{-λ0 t}。证明，对于任意凸函数H:R⁺→R⁺满足H(0)=0，我们有

d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,

并证明

ψ(x)n(t,x))dx=e^λ0t ψ(x) n₀ (x)dx.