大学数学-考博试题(电子科技大学 2004年秋复变函数)

证明题（2004年秋电子科技大学）

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且f' (z)=0，试证f(z)是一个常量。

答案解析

因为f(z)在D内是解析的，且f'(z)=0,

于是∂u/∂x=0,∂u/∂y=0,∂v/∂x=0,∂v/∂y=0,

u=a(常量)，v=b(常量).

所以f(z)=u+iv=a+ib(常量).

讨论

大学数学

电子科技大学复变函数

电子科技大学复变函数

电子科技大学复变函数

电子科技大学数理方程

设hn (x)在[a,b)连续，且fn (x)≤hn (x)≤gn (x),∀x∈(a,b)，若级数fn (x),gn(x)在(a,b)上收敛，级数hn(a)发散，证明：(1)级数hn (x)在(a,b)上收敛；(2)级数hn (x)在(a,b)上非一致收敛；

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续，但非一致收敛.

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

设函数f(x)在开区间[0,1]上可微，f(0)=0，且在[0,1]内0<f'(x)<1，证明：(1)对于任意x∈(0,1),f(t)dt>1/2 f2 (x);(2) (f(x)dx)2>f3(x)dx.

设函数f(x)在开区间(a,b)内存在二阶导数f''(x)，且在(a,b)内f''(x)>0，证明：对于任意两点x1,x2∈(a,b)，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(1)证明：f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值（选最小值证明）；(2)进一步，还假设f(x)在[a,b]上处处不为零，试用定义证明函数1/f2(x)在[a,b]上连续.

专业数学

利用Green函数法求定解问题，

电子科技大学数理方程

求方程uxx+10uxy+9uyy=0的通解.

给定偏微分方程：uxx+4uxy+3uyy=2.(1)化为标准型并求通解；(2)对该方程提定解条件：①u(x,x)=0,ux (x,x)=0或②u(0,y)=0,ux (0,y)=0问哪种定解条件下的定解问题是不适定的？为什么？(3)求出方程满足(2)中适定的定解条件的解。

利用积分变换法求解初值问题ut-uxx+u=δ(x)δ(t) -∞<x<+∞,t>0 u(x,0)=0

利用分离变量法求解定解问题

利用Green函数法求定解问题，.

求解波动方程定解问题。4utt=25uxx -∞<x<+∞,t>0,u(x,0)=sin2x,ut (x,0)=0.

求解热传导方程定解问题。ut=uxx-2u 0<x<π,t>0,u(x,0)=sinx,u(0,t)=0,u(π,t)=0.

求解理想不可压缩流体绕圆柱流动的速度势函数u(r,θ)，满足urr+1/r ur+1/r2 uθθ,r>a(半径为a的圆外区域)，ur (a,θ)=0,u=Vrcosθ,V为常数.

复变函数

试将sin5θ,cos5θ用sinθ和cosθ表示.

求将单位圆映射成单位圆且满足条件ω(1/2)=0,ω'(1/2)>0的分式线性映射.

设有一根具有绝热的侧表面均匀的细杆，密度为ρ，横截面面积为A，其初始温度为φ(x)，两端满足下列边界条件之一：(1)一端（x=0）绝热，另一端（x=L）有热流密度q进入；(2)一端（x=0）温度为μ1(t)，另一端（x=L）与温度为θ(t)的介质有热交换。试分别写出上述两种热传导过程的定解问题。

电子科技大学复变函数

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且在D内是解析的，试证f(z)是一个常量。

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且 Ref(z)在D内是一个常量，试证f(z)是一个常量。

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且|f(z)|在D内是一个常量，试证f(z)是一个常量。

计算积分I=∫c(ez dz)/(z2+1)2 ,其中积分路线c为椭圆：4x2+y2-2y-8=0正向一周。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域0<|z-i|<2中展开为罗朗级数。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域2<|z-i|<+∞中展开为罗朗级数。