大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2025年无穷小与无穷大)

填空题（2025年理工数学Ⅰ）

(x^x-1)/(lnx∙ln⁡(1-x))=______.

答案解析

-1

【解析】

解答过程见word版

讨论

函数极限的性质

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

已知函数f(x)为(A,B)上的连续函数，且有[a,b]⊂(a,b)，证明：1/h [f(x+h)-f(x)]dx=f(b)-f(a)

南京大学函数极限的性质

设f(x)与g(x)在(-∞,+∞)上皆可导，且f(x)<g(x)，则必有【】

已知⁡(x2/(x+1)-ax-b)=0，其中a,b是常数，则【】

⁡(3sinx+x2cos⁡(1/x))/((1+cosx)ln⁡(1+x))=________.

当a=__________，b=__________时，有arctanx=-

莫斯科经济统计学院函数极限的性质

求y=x3/(x-1)2 cos⁡(2arctanx)的所有渐近线.

无穷小与无穷大

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.

当x→0时，xe-x/2与αxn是等价无穷小，求α和n.

当x→0时，α(x),β(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题①若α(x)~β(x)，则α2 (x)~β2 (x)②若α2 (x)~β2 (x)，则α(x)~β(x)③若α(x)~β(x)，则α(x)-β(x)=o(α(x))④若α(x)-β(x)=o(α(x))，则α(x)~β(x)其中所有真命题的序号是【】

当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+ln⁡(1+x)与g(x)=ex^2 -cosx是等价无穷小，则ab=______.

已知{xn },{yn}满足x1=yn=1/2,xn+1=sinxn,yn+1=yn2 (n=1,2,⋯) ，则当n→∞时【】

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

已知当x→0时，(1+ax2)1/3-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=__________.

设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=(x2-t2) f(t)dt，且当x→0时，F'(x)与xk是同阶无穷小，则k等于【】

考研无穷小与无穷大

函数与极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

东北师范大学两个重要极限

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

求极限(exsinx-x(1+x))/x³=______.

求(lnn-[lnn])=______.